Стороны ab и bc треугольника abc продолжени за вершину b и на продолжении ab отложен отрезок bd так, что ab: bd=3: 2. из точки d проведена пряммая, паралельна ac, до пересечения в точке f с продолжением стороны вс. найти отрезок df, если ас= 24.6

ответ: КС=16см

Объяснение: пусть катет ВС=х, тогда гипотенуза АС=2х. Зная, что АВ=24, составим уравнение используя теорему Пифагора:

(2х)²-х²=24²

4х²-х²=576

3х²=576

х²=192

х=√64×3

х=8√3см; ВС=8√3; АС=8√3×2=16√3см

Так как ВС равна ½АС, то этот катет лежит напротив угла 30°, значит угол А= 30°, следовательно, угол С=60°. Зная, что биссектриса, проведённая из угла С делит его пополам, то угол ВСК=углу АСК=30°. Теперь рассмотрим полученный ∆ВСК.Он также прямоугольный, где ВС и ВК катеты, а СК- гипотенуза. мы нашли катет ВС, угол ВСК=30°, а значит, катет лежащий напротив него тоже будет равен половине гипотенузы в этом треугольнике, т.е. ВК=½СК. Точно так же пусть ВК=х, тогда КС=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора: КС²-ВК²=ВС²

(2х)²-х²=(8√3)²

4х²-х²=64×3

3х²=192

х²=192÷3

х²=64

х=√64

х=8; итак: ВК=8см, тогда КС=8×2=16см

КС=16см

∠DAB = 30°

Объяснение:

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

∠BCD = 1/2 ∪DB = 1/2 · 100° = 50°

∠BDC = 1/2 ∪CB = 1/2 · 40° = 20°

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри этого угла, значит

∠АВС = 1/2 ∪СВ = 1/2 · 40° = 20°

∠BCD - внешний для треугольника АВС. По свойству внешнего угла

∠BCD = ∠ABC + ∠BAC

∠BAC = ∠BCD - ∠ABC = 50° - 20° = 30°

∠DAB = 30°

Стоит запомнить, что угол между секущими, проведенными из одной точки (или между секущей и касательной, как в данном случае), равен полуразности дуг, заключенных между ними.

∠DAB = 1/2 (∪DB - ∪CB) = 1/2 (100° - 40°) = 1/2 · 60° = 30°