Через точку f, принадлежащую стороне ac треугольника abc, проведена прямая, параллельная стороне ab и пересекающая сторону bc в точке k. лучи ap и fd - биссектрисы углов bac и kfc соответственно. докажите, что прямая ap параллельна прямой fd.

Раз ab  ii fk, то угол а= углу f. бис-са делит угол а пополам. и угол f пополам., значит угол pac= углу dfc. согласно признакам подобия дальше

Окружность описана вокруг прямоугольника.  диаметром описанной окружности является диагональ прямоугольника .  найдем этот диаметр из формулы площади круга: s=πr²  r²=s : π r²=π(169 : 4) : π r=13/2 d=2r= 13 см расстояние от точки до прямой - отрезок, перпендикулярный этой прямой. расстояние от вершины b до прямой, содержащей диагональ ac, - это высота вн ⊿авс, опущенная из прямого угла  на гипотенузу ас.  высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого  угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые  делится гипотенуза этой высотой.   вн²=ан*нс пусть ан=х, тогда нс=13-х 36=х(13-х) х²-13х+36=0 решив квадратное уравнение, получим два корня: 4 и 9. ан=4, нд=9 по т.пифагора из прямоугольного треугольника авн найдем ав. ав²=36+16=52 ав= √52 вс²=81+36=117  вс = √117 площадь прямоугоольника равна произведению его сторон: s=ав*вс=√52*√117=√6084= 78 см² 

1) в основании 6-угольной пирамиды лежит правильный 6-угольник, который состоит из 6 равносторонних треугольников. если сторона равна 4, то площадь s(осн) = 6*a^2*√3/4 = 6*16*√3/4 = 24√3 высота (она же медиана и биссектриса) одного треугольника h = a*√3/2 = 2√3 эта высота h - один катет прямоугольного треугольника, высота самой пирамиды h - второй катет, а апофема l - гипотенуза l^2 = h^2 + h^2 = 4*3 + 2^2 = 12 + 4 = 16, l = 4, как и сказано в условии. это можно узнать и самому. площадь боковой поверхности s(бок) = 6*a*l/2 = 3*4*4 = 48. площадь полной поверхности s = s(осн) + s(бок) = 48 + 24√3 объем пирамиды v = 1/3*s(осн)*h = 1/3*24√3*2 = 48/3*√3 2) опять тоже самое. у правильной 4-угольной пирамиды в основании лежит квадрат. и опять же, апофему можно вычислить, зная сторону основания и высоту. s(осн) = 8^2 = 64 s(бок) = 4*a*l/2 = 2*8*5 = 80 площадь полной поверхности s = s(осн) + s(бок) = 64 + 80 = 144 объем пирамиды v = 1/3*s(осн)*h = 1/3*64*3 = 64 3) если площадь основания (квадрата) равна 36, то сторона а = 6 и опять же, апофему можно вычислить, зная сторону основания и высоту. s(бок) = 4*a*l/2 = 2*6*6 = 72 площадь полной поверхности s = s(осн) + s(бок) = 36 + 72 = 108 объем пирамиды v = 1/3*s(осн)*h = 1/3*36*3√3 = 36√3