Треугольник dob равнобедренный. bd- его основание. dk и bm медианы. докажите что угол bdm=dbk, dm=bk треугольник bdm=dbk

1. bdm=dbk тк углы при основании равнобедренного треугольника равны 2. dk делит bo пополам от сюда следует что bk=ok bm делит do пополам от сюда следует что dm=om; из этих двух высказываний следует что bk=ok=dm=om и от сюда следует что dm=bk 3. треугольники bdm=dbk по двум сторонам (bd-общая, bk=dm доказано во втором пункте) и углу между ними (пункт первый)

опишем окружность   данного радиуса с центром о. проведем в ней хорду ав, равную заданной стороне. пусть м –середина этой хорды. проведем диаметр тр через точки м и о (т и р лежат на окружности и т –ближайшая к м). все биссектрисы вписанных треугольников авс из угла с проходят через точку т-середину дуги ав. предположим, что построен искомый треугольник авс с биссектрисой ск, продолжение которой проходит через т.   биссектриса ск равна заданной   l. заметим, что треугольник   рст подобен треугольнику тмк (оба прямоугольные с общим углом т).  значит тк*тс=тм*тр.  но и треугольник твр подобен треугольнику твм и тв*тв=тм*тр. значит тк*тс=тв*тв и это верно для любой точки с на дуге проходящей через авр.

теперь построение :     тв нам известно (строится сразу). тк*( l+тк)=тв*тв. значит тк^2+2*(l/2)*tk+l^2/4=tb^2+l^2/4      tk=sqrt(tb^2+l^2/4)-l/2.  тс= sqrt(tb^2+l^2/4)+l/2.    таким образом, тс строится элементарно : строим прямоугольный треугольник с катетами тв и   l/2 и его гипотенузу продолжаем на l/2. зная тс проводим окружность из т   радиуса тс и пересечение ее с исходной окружностью даст точку с (и симметричную ей относительно тр). условия на радиус, хорду ав и длину биссектрисы l, когда построения выполнимы, вполне очевидны.

Очевидно маленьккий круг вписан в в "лунку", т.е. касается большого круга внешним образом. радиус большого круга равен половине стороны квадрата, т.е. равен 1.проведем общую касательную у обеим окружностям. она отсекает прямоугольный равнобедренный треугольник, в который вписан маленький круг.   маленький круг вписан в треугольник равнобедренный, прямоугольный , с высотой sqrt(2)-1. его стороны : 2-sqrt(2), 2-sqrt(2),2(sqrt(2)-1). половина периметра: 2-sqrt(2)+sqrt(2)-1=1 произведение  радиуса вписанной окружности на половину периметра треугольника равно площади треугольника. поэтому: радиус вписанного круга  r*1=(2-sqrt(2))^2/2 r= 2-2sqrt(2)+1=3-2*sqrt(2) r*r=9-12*sqrt(2)+8=17-12*sqrt(2) площадь маленького круга : pi*(17-12*sqrt(2)) примерно; 0,0925 примечание: sqrt - квадратный корень.