8класс 1.стороны прямоугольника 8 и 15 см. найти диагональ 2. в равнобедренной трапеции основания ровны 8 и 14 см. боковая сторона- 5 см. найти высоту трапеции

1. диагональ делит прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника. для этих треугольников диагональ - гипотенуза. катеты треугольника известны. по теореме пифагора находим гипотенузу: с² = а² + в², с =  √а² + в² =  √289 = 17 см 2. построим в равнобедренной трапеции вторую высоту. найдем длины отрезков от вершин основания трапеции до точки пересечения высот и этого основания: (14 - 8) : 2 = 3 см (наши отрезки равны, т.к. трапеция равнобедренная по условию). мы видим, что у нас получились прямоугольные треугольники. сторона трапеции является гипотенузой в этих треугольниках. один из катетов мы только что нашли. это 3 см. по теореме пифагора находим второй катет треугольника, который является также и  высотой трапеции: с² = а² + в², отсюда а =  √с² - в² =  √5² - 3² =  √16 = 4 см

Вот я напишу решение, не понравится, можете смело ставить нарушение. точки пересечения биссектрис боковых граней равноудалены от центра основания. следовательно, все точки трех окружностей, вписанных в боковые грани, равноудалены от центра основания. включая, разумеется, и середины ребер основания. то есть - в дополнение к сказанному - к этому множеству равноудаленных точек принадлежат и точки окружности, вписанной в основание.  это означает, что существует такая сфера, которая касается всех ребер пирамиды, и центр её лежит в центре основания. вписанные окружности являются сечениями этой сферы плоскостями граней. причем сечение основанием является центральным. на самом деле уже решена, и дальше я так коротко. пусть пирамида abcs, o - центр основания, ac касается сферы в точке b1, as - в точке a2.  тогда из сказанного выше следует, что треугольники aa2o и ab1o равны (по трем сторонам). то есть  ∠sao = 30°;   пусть ac = a; as = d; тогда a*2√3/3 = d√3/2; d = a*2/3; ab1 = a/2; => sb1 = a*√7/6;   отсюда легко выразить через a площадь боковой грани (a^2*√7/12) и полупериметр p = a*7/6; откуда a*√7/14 = 1/√7; a = 2; может я в арифметике ошибся где-то, проверяйте.

Т. о - точка пересечения диагоналей ас и вд ромба авсд. т.к. абсд -  ромб, то по  свойству ромба:   диагонали ромба являются биссектрисами его улов. значит, угол вао=угол дао=(угол вад)/2 следовательно, угол вао=56/2=28 градусов. сумма углов в любом четырёхугольнике равна 360 градусов. противолежащие угла равны. 56+56=112 градусов  - сумма углов вад и всд 360-112=248 градусов  - сумма углов авс и адс 248/2=124=угол  авс угол аво=124/2=62 градуса  (т.к. вд - биссектриса) ответ:   угол вао=28 градусов; угол аво=62 градуса