На сторонах ab и bc треугольника авс отмечены точки м и р так, что ам=мв, вр=ср, ас=14 см. чему равен отрезок мр?

Мр- средняя линия и  ⇒ мр=ас/2=14/2=7

Медиана  делит треугольник на два равновеликих  треуугольника, т.е. полщадь треугольника амс =  24,2 : 2 =12,1 т.к. рк параллельна ам , то треугольникиамс и рмк подобны, а площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон, т.е. s  треугольника амс так относится к s треуголника  ркс как 11 в квадраие  относится к 3 в квадрате 11это сторона  ас(8+3).  итак  ,  s  : s=  121:   9, s=12,1,  тогда  s = 12,1*9 : 121 s  =  о.9 кв. ед

Треугольник  амр  равен тр. ркс,  значит угол мар равен углу крс,  а угол мра равен углу кср. по условию   тр. авс равнобедренный, значит угол мар равен углу кср и следовательно, уг. мра = уг. мар = уг. крс = уг. кср (все эти  углы  равны).  значит треугольник мар и тр. крс так же являются равнобедренными,  то есть ам=мр=кр=кс. следовательно треугольник мкр так же является равнобедренным  (мп=кр). линия вр в треугольнике авс является биссектриссой, медианой и высотой одновременно.  через  сумму углов треугольника:   уг. мар+ уг. мра+  уг. амр = уг. крс + уг. кср+ уг. ркс = уг.  арм + уг мрк + уг.  крс = 180 градусов. с  учетом равенства  уг. мра = уг. мар = уг. крс = уг. кср  получим:   уг. амр  = уг. мрк = уг. ркс.  следовательно треуг. мкр = тр. амр = тр. ркс,  а линия  мк параллельна линии ав, так как смежные углы уг.  мар и уг.  кма=амр+уг. кмр  в сумме составляют 180 градусов. значит  отрезок  вр перпендикулярен отрезку мк  (так же,  как  и  отрезку  ас). значит  отрезок  рв является высотой треугольника мрк, а следовательно он является его медианой и биссектриссой,  так как треугольник мрк равнобедренный.