1. биссектриса угла прямоугольника делит его большую сторону пополам. меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. найдите стороны прямоугольника

Биссектриса любого угла прямоугольника отсекает на противоположной  стороне отрезок, равный боковой стороне. т.к.  биссектриса  делит противоположную сторону пополам,  то эта сторона равна 10 ответ:   5 и 10

В  правильном  треугольнике  центр  находится  в  точке,  которая  является  центром   вписанной  и  описанной  окружности.  если  точка  равноудалена  от  всех  сторон треугольника,  то  она  проецируется  в точку о - центр  впис.  окр-ти,  и ро - перпендикуляр к плоскости треуг-ка. по условию ро=1.расстояние рм  от точки р до стороны ав  треугольника   равно  расстоянию  от  точки  р  до  середины  стороны  ав,  то  есть  рм=2,  причём  рм  перпенд-но  ав  (  то  есть  рм  -  апофема). рассмотрим  треуг-к  ром.угол  ром=90,  рм-гипотенуза,  ро,ом- катеты    > ом  -  1/3  от  высоты  см,  cm  перпендикулярно  ав. но  в  равностороннем  треуг-ке  медианы,  высоты  и  биссектрисы  ,  поэтому  из прямоугольного тр-ка  аом  имеем: < oam=30,  am=om: tg30= ab=2*am=2*3=6

Если соединить последовательно середины сторон выпуклого четырехугольника, то каждый из отрезков будет параллелен диагонали четырехугольника и равен его половине (как средняя линяя в треугольнике, образованном двумя сторонами и диагональю четырехугольника). то есть фигура, образованная этими отрезками - параллелограмм (противоположные стороны параллельны и равны между собой).  причем углы между сторонами параллелограмма   равны углам между диагоналями исходного четырехугольника. отрезки, соединяющие  середины противоположных сторон исходного четырехугольника, в этом параллелограмме будут диагоналями. поскольку по условию эти отрезки равны, то параллелограмм является прямоугольником, углы между его сторонами прямые, следовательно, между диагоналями исходного четырехугольника тоже прямые углы.