Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45см. найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность равенр=3r*sqrt(3)откудаr=p/3*sqrt(3)=45/3*sqrt(3)=15*sqrt(3)радиус окружности описанной около восьмиугольника определяется по формулеr=a/2sin(360/16)=a/2sin(22,5°)откуда a=r*2sin(22,5°)=2*15*sqrt(3)*sin(22,5°)=30*1,7*0,38=19,38

Радиусом описанной окружности в данном случае будет половина гипотенузы прямоугольного треугольника. так как вписанный в окружность прямой угол опирается на диаметр этой окружности. ищем гипотенузу по известной теореме пифагораab=16r=ab/2 r=8№4точка с1 симметрична точке с относительно d. точка м1 (само собой) симметрична точке м относительно ad. угол ас1d равен вписанному углу mm1a, опирающемуся на дугу ам, а дуга ам равна  дуге ам1. поэтому угол м1ра равен углу ас1d (или просто углу с треугольника авc), и треугольники ам1р и ас1в подобны (у них все углы равны) отсюда ap/am1 = ac1/ab;   8/6 = x/9;   x = 12;  

пусть хсм-длина первого катета,тогда усм-длина второго катета.тогда (х+у)=60-25; х^2+y^2=625.

составим систему: {х+y=35,                    {х=35-y,

                                                                х^2+y^2=625;     y^2+35^2-70y+y^2=625

                                                                                                                      2y^2-70y-600=0  /2

                                                                                                                    y^2-35y-300=0

                                                                                                                      a=1 b=-35 c=-300

                                                                                                                      d=b^2-4ac

                                                                                                                      d=    25

                                                                                                                    корень из d=5> 0  -2 корня

                                                                                                                    х1=15      х2=20

х=15

y=20(ну или наоборот)

ответ: 15 и 20 см-длины катетов.