Нужны доказательства по теореме и признаку прямогольного треугольника! 1)в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы 2)если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник-прямоугольный

Док-ть :   во=ао=ос док-во.     проведем cd||ab.   продолжим во до пересечения с cd. δaob =  δcod   по стороне и 2-м прилеж. углам: ао=ос (во-медиана), уголвао=углуdco ( ав || сd, ac - секущая),  угол aob= углу doc, как вертикальные. значит, ав=сd. в 4-ке авсd:   ав и сd равны и параллельны, значит, авсd - параллелограмм, у которого угол в=90о. тогда авсd - прямоугольник, его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. вd=ac и bo=0,5*bd=0,5*ac, что и треб. док-ть.

Пусть abc - прямоугольный треугольник c гипотенузой ab, катетами bc и ас=18 см.  угол cab = 30 градусов, катет bc противолежащий углу 30 градусов равен половине гипотенузы. ab = 2* bc по теореме пифагора: ab² = ac² + bc² bc² = ab² - ac² bc² = (2* bc)² - ac² bc² = 4* bc² - ac² 3 * bc² = ac² bc² = ac² / 3 bc² = 18² / 3 = 324 / 3 = 108 bc =  √108 =  √(6*6*3) = 6√3 (см) ac = 2 * 6√3 = 12√3 (см) угол abc = 180 - 90 - 30 = 60 градусов угол acb - прямой. биссектриса (bd) делит угол abc пополам.  угол dbc = 30 град, угол bdc = 60 град   ⇒ треугольники abc и bdc подобны по трем углам. у подобных треугольников  стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.   bc       ac     =   dc       bc   6√3         12√3 =   dc           6√3 свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних 6√3   * 6√3 = dc * 12√3 108 = dc * 12√3 dc = 108 / 12√3 dc = 9 /  √3 = 9√3 / 3 = 3√3  ≈5,2  (см) ad = ac - dc ad = 18 - 3√3  ≈ 18 - 5,2  ≈ 12,8 (см) биссектриса острого угла треугольника делит больший катет на отрезки 12,8 см и 5,2 см

Пусть авс - равнобедренный треугольник с вершиной а, основанием вс, известными боковыми сторонами ab=ac= a (см). bd - известная медиана, проведенная к боковой стороне ас. в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны. bd=ce= b (cм) медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке о (центре тяжести треугольника), которая делит каждую из них в отношении 2: 1, считая от угла, из которого они исходят  ⇒  bo=co= b* 2/3 = 2b/3 do=eo=b * 1/3 = b/3 строим треугольник. чертим отрезок ab, равный а см. находим середину этого отрезка и отмечаем точку е. раствором циркуля, равным eo, чертим дугу окружности с центром в точке е. раствором циркуля, равным во, чертим дугу окружности с центром в точке в. дуги пересекутся в точке о, которая является центром тяжести данного треугольника. из точки е через точку о чертим отрезок ce, равный известной медиане (b). соединяем точки a, b, c. получаем искомый треугольник