Если длины двух сторон треугольника равны 4 и 9, то длина третьей стороны может быть

Из неравенства треугольника следует, что сумма длин  любых двух сторон больше длины  третьей стороны. если третья сторона равна x, то должны выполняться неравенства 4+9> x; 4+x> 9; 9+x> 4. первое неравенство выполняется при x< 13, второе при x> 5, третье при любом x> 0. значит, 5< x< 13, то есть длина третьей стороны - любое число, большее 5 и меньшее 13.

Даны окружность (х-5)²+(у - 5)²=9 и прямая х+у=7.

Точки их пересечения находятся решением системы из заданных уравнений.

Применим подстановки:

Из второго уравнения у = 7 - х подставим в первое.

(х - 5)²+(7 - х - 5)² = 9 или (х - 5)²+(2 - х)² = 9. Раскроем скобки.

х² - 10х + 25 + 4 - 4х + х² = 9. Получаем квадратное уравнение.

2х² - 14х + 20 = 0, сократим на 2: х² - 7х + 10 = 0. D = 49 - 40 = 9.

x1 = (7-3)/2 = 2, x2 = (7+3)/2 = 5.

Находим координаты по у:

у1 = 7 - 2 = 5, у2 = 7 - 5 = 2.

ответ: точки пересечения (2; 5) и (5; 2).

Угол между секущими равен полуразности дуг.

Следовательно угол, опирающийся на данную хорду, меньше вписанного, если его вершина лежит вне окружности.

Построим окружность через точки A и B, касающуюся данной окружности в точке С. Любой угол, опирающийся на AB, с вершиной вне построенной окружности, будет меньше ACB.

Можно построить две окружности, взяв центр в одной или в другой полуплоскости от прямой AB. При заданной хорде, угловая мера дуги AB будет тем больше, чем меньше радиус построенной окружности.