Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника

решаю только из-за 12 и 13 :

гипотенуза относится к катету, имеющему общую вершину с биссектрисой, как 13 к 12. а другой катет имеет длину 25. поскольку это прямоугольный треугольник, то : длины сторон 25, 60 и 65, поэтому площадь 25*60/2 = 750;

(кажется, что я перескочил, но это не так. дело в том, что одна из первых пифагоровых троек это 5,12,13 то есть - существует такой прямоугольный треугольник, в котором стороны - целочисленные, 5,12,13. а треугольник в подобен ему - раз пропорции те же, - но в 5 раз больше, раз малый катет 25. вот поэтому я и стал решать : ) хотя конечно можно было бы сказать, что 12/13 это косинус угла, из которого выходит биссектриса, посчитать по косинусу котангенс, который окажется 12/5, вычислить второй катет, умножив известный первый катет, то есть длины 25, на этот котангенс, - получим   60, и взять половину их произведения. имено так и надо делать в общем случае. но в данном случае ответ получается сам собой. причем решение это совершенно строгое. но учителю может не понравится.)

опять пифагоров треугольник:

если кусок большой диагонали от большого основания до точки пересечения обозначить х, то из очевидного подобия прямоугольных треугольников с одинаковыми углами следует.

х/64 = 36/х, отсюда х = 48;

48/64 = 3/4, поэтому все прямоугольные треугольники, образованные основаниями, диагоналями и боковой стороной, перпендикулярной основанию, подобны треугольнику со сторонами 3,4,5. исключение составляет только треугольник, образованный кусками диагоналей и косой боковой стороной, но он нам не интересен: ). (чтобы было понятно, подобие, о котором идет речь - всего лишь названные по другому   тригонометрические функции углов : ) мы уже знаем тангенс угла между большой диагональю и большим основанием, он равен 3/4, значит синус равен 3/5, а косинус 4/5: ))

сразу можно написать ответы. нижнее основание 80 высота трапеции будут 60, а верхнее - 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)