Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 2a и a. найти длину биссектрисы прямого угла.

Пусть треугольник abc угол a прямой проведём биссектрису ah она делит угол a пополам а точнее угол bah=90: 2=45 угол hac=45 (но это не важно) по теореме пифагора найдём гипотенузу bc bc^2=4a^2+a^2=5a^2 bc= корень из 5 a медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника ah=1/2 корень из 5 a=1/2 * корень(5) * a

Можно это доказать по теореме усу( угол сторона угол). говорят, что сторона первого треугольника равна стороне второго. значит осталось только доказать, что два угла одного треугольника равны двум углам второго. эти треугольники прямоугольные, а это означает, что если один острый угол одного треугольника равен острому углу другого треугольника, то и второй острый угол одного треугольника равен острому углу другого. такое условие здесь дано, значит два угла одного треугольника равны двум углам другого. два угла одного треугольника равны двум углам второго, а также сторона одного треугольника равна стороне второго. по теореме усу эти треугольники равны. доказано.

Радиусы вписанной в равнобедренный треугольник и описанной около равнобедренного треугольника окружности равны соответственно: , где a - боковая сторона, b - основание, r - радиус вписанной окружности, r- радиус описанной окружности. сделаем замену переменных, чтобы было легче преобразовывать. пусть  разделим первое уравнение на второе: сделаем обратную замену: пусть  значит, боковая сторона относится к основанию как 5: 4, либо как 5: 6. обратная замена:   получилось, что основание выражается иррациональным числом. значит, данное значение не подходит. теперь решим второе уравнение: значит, боковая сторона равна 5 см, а основание - 6 см. ответ: 5 см; 5 см; 6 см.