Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна 4. докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин этого четырехуголька не меньше 1.

Из того что сумма длин диагоналей равна 4, следует, что одна из диагоналей не меньше 2. пусть есть точка, такая что расстояние от нее до любой из четырех вершин меньше 1. проведем окружность с центром в этой точке и радиусом 1. тогда все четыре вершины нашего четырехугольника будут внутри, то есть весь четырехугольник внутри, но! заметим, что диаметр окружности 2! значит, любой отрезок лежащий внутри меньше двух, но у нас внутри лежит диагональ длиной как минимум 2. противоречие.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание является и  медианой и  делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника (один катет общий, два других - половинки основания исходного тр - ка, также равны и гипотенузы как боковые стороны равнобедренного тр-ка) это справедливо и для второго равнобедренного тр-ка.   имеем 4 равных прямоугольных треугольника (все гипотенузы равны и по теореме пифагора), они попарно образуют равнобедренные тр-ки, которые тоже равны (равны основания и боковые стороны).

Теорема 1  (теорема пифагора). в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть  c2  =  a2  + b2,где c  — гипотенуза треугольника. теорема 2. для прямоугольного треугольника (рис.  1) верны следующие соотношения: a  = c  cos  β = c  sin  α = b  tg  α = b  ctg  β, где c  — гипотенуза треугольника. теорема 3. пусть ca  и cb  — проекции катетов  a  и b прямоугольного треугольника на гипотенузу c, а h  — высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу (рис.  2). тогда справедливы следующие равенства: h2  = ca∙cb,  a2  = c∙ca, b2  = c∙cb. теорема 4  (теорема косинусов). для произвольного треугольника справедлива формулаa2  = b2  + c2  – 2bc  cos  α. теорема 5. около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. центр этой окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам. центр описанной окружности лежит внутри тре­угольника, если треугольник остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный; на середине гипотенузы, если он прямоугольный (рис.  3). теорема 6  (теорема синусов). для произвольного треугольника (рис.  4) справедливы соотношения теорема 7. во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну (рис.  5).центр этой окружности есть точка пересечения биссектрис трех углов треугольника. центр вписанной окружности лежит всегда внутри треугольника. теорема 8  (формулы для вычисления площади треугольника). 4последняя формула называется формулой герона. теорема 9  (теорема о биссектрисе внутреннего угла). биссектриса внутреннего угла треугольника (рис.  6) делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, то естьb : c = x : y. теорема 10  (формула для вычисления длины биссектрисы) (см. рис.  6) . теорема 11  (формула для вычисления длины биссектрисы). теорема 12. медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая от вершины (рис.  7). теорема 13  (формула для вычисления длины медианы).  доказательства некоторых теоремдоказательство теоремы 10. построим треугольник abc и проведем в нем биссектрису ad (рис.  8). пусть cd = x и db = y. применим к треугольникам abd и acd теорему косинусов: bd2  = ab2  + ad2  – 2∙ab∙ad∙cos  ∠bad; cd2  = ac2  + ad2  – 2∙ac∙ad∙cos  ∠cad.или, что то же самое, выразим из каждого неравенства  и приравняем полученные результаты: применив теперь к треугольнику abc теорему о биссектрисе внутреннего угла, получим, что отдельно преобразуем выражение cx2  – by2: последнее равенство верно в силу того, что    имеем далее: если c ≠ b, то, сократив обе части равенства на c – b, получим требуемую формулу; если же c = b, то данная теорема сводится к теореме пифагора. доказательство теоремы 11. построим тре­угольник abc и проведем в нем биссектрису ad (см. рис.  8). имеем: с другой стороны, приравнивая полученные двумя способами значения площади треугольника abc, имеем: при этом мы использовали формулу  доказательство теоремы 13. построим треугольник abc и проведем в нем медиану aa1  (см. рис.  7). применим в треугольниках aa1b и aa1c теорему косинусов: или, что то же самое, где ϕ = ∠aa1b. так как cos  (π – ϕ) = –cos  ϕ, сложив последние два равенства, получим: решение 1. в прямоугольном треугольнике abc из вершины прямого угла c проведены биссектриса cl и медиана cm (рис. 9). найти площадь треугольника abc, если lm =  a, cm = b.решение. медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. поэтому am = bm = b,откуда al = b –  a, lb = b +  a. применим к треугольнику abc теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника: применив теперь к треугольнику abc теорему пифагора, получим: откуда а искомая площадь равна  ответ:   2. в треугольнике abc задана точка m на стороне ac, соединенная с вершиной b отрезком mb (рис.  10). известно, что am = 6, mc = 2, ∠abm = 60°, ∠mbc = 30°. найти площадь треугольника abc.решение. применим к треугольникам abm и bcm теорему синусов: так как треугольник abc прямоугольный, то    разделив равенство (1) на равенство (2), с учетом sin  ∠amb = sin  ∠bmc находим, что  откуда ∠acb = 60°.значит, площадь треугольника abc равна  ответ: