Вокружность вписан треугольник, одна из его сторон 6 см. найдите площадь вписанного круга?

Теорема 1 (теорема Фалеса). Параллельные прямые высекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки (рис. 1).

Определение 1. Два треугольника (рис. 2) называются подобными, если соответствующие стороны у них пропорциональны.

Теорема 2 (первый признак подобия). Если угол первого треугольника равен углу второго треугольника, а прилежащие к этим углам стороны треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны (см. рис. 2).

Теорема 3 (второй признак подобия). Если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 3).

Теорема 4 (теорема Менелая). Если некоторая прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках X и Y соответственно, а продолжение стороны AC — в точке Z (рис. 4), то

Теорема 5. Пусть в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1 (рис. 5). Тогда треугольники A1BC1 и ABC подобны, причем коэффициент подобия равен cos ∠B.

Лемма 1. Если стороны AC и DF треугольников ABC и DEF лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 6), то

Лемма 2. Если два треугольника имеют общую сторону AC (рис. 7), то

Лемма 3. Если треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A, то

Лемма 4. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

task/30246302   в треугольнике заданы вершина а(4,6), уравнения медианы x-5y+7=0 и высоты x+4y-2=0 выходящих из одной вершины. найти координаты остальных вершин, составить уравнения сторон, а также найти длину высоты треугольника.

решение   для определенности пусть медиана bm , а   высота bh .   координаты этой вершины   b определяется в результате решения системы { x -5y +7=0 ; x + 4y-2= 0 . ⇔   {x-5y +7=0 ; 9y =9. ⇔{ x= -2 ; y= 1 .   b(- 2; 1).  

уравнение стороны   ac будет имеет вид   y - 6 = k(x - 4) ;   угловой коэффициент   k определяется из   k* k₁= - 1 , где k₁ угловой коэффициент прямой   bh (т.к. ac⊥ bh ):   x+4y -2=0 ⇔ y = (-1/4)x +1/2.       ( k₁ = -1/4 ⇒ k = 4).     y - 6 = 4(x - 4)  

уравнение стороны ac : 4x - y - 10 = 0 .   * * *(1/√17)*(4x -y -10) =0 * * *  

  для определения   координаты вершины с сначала определим координаты середины   стороны ac (точка m) , а для этого достаточно решить систему уравнений ( уравнении   прямых ac и   bm) :

{ x- 5y +7=0 ; 4x - y - 10 = 0.   ⇔ { x=3; y =2 .                     m(3 ; 2)

x(c) =2x(м)-x(a) =2*3-4 =2 ; y(c) =2y(м)-y(a) =2*2-6 =-2. c(2 ; -2)

* * * т.к.   x(м)= ( x(a) + x(c) ) / 2   ;   y(м)=( y(a) +y(c) ) / 2.   * * *

уравнение прямой ab: y-6=[(1-6): (-2 -4)]*(x -4) ⇔ 5x - 6y +16 =0.

уравнение прямой bc: y-1=[(-2-1): (2 )]*(x )) ⇔ 3x+4y +2 =0.

длина высоты bh (расстояние от точки b(-2 ; 1) до прямой ac ).   нормальное   уравнение   прямой   ac:   (4x - y - 10) /√17   = 0                           * * * (4x - y - 10) /√(4²+ (-1)²)   = 0 * * *

d = |4*(-2) - 1 - 10 | / √17 = 0 . ⇔ d =   19 /√17= ( 19√17 ) / 17 .