Биссектриса pc и медиана qa треугольника pqr взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке f. площадь треугольника pqr равна 40. найдите площадь треугольника fpq.

Проведём высоту qn.  площадь треугольника pqn= площадь треугольника pqa= (как равновеликие, т.к.  высота qn-общая для обоих треугольников, а основание pr=2ap(по условию).  тогда площадь pqa= рассмотри треугольник pqa.  треугольник pqf = треугольнику paf (pf-общая, угол qpf=fpa (т.к. pf-биссектриса). тогда площадь треугольник pqf=ответ: площадь pqf=10.

ответ:tgα∗ctgα=1

а) tg \alpha =2tgα=2 ctg \alpha =1:2= 0,5ctgα=1:2=0,5

\frac{tg a+ctg a}{tg a-ctg a}= \frac{2+0,5}{2-0,5}= \frac{2,5}{1,5}= \frac{5}{3}=1 \frac{2}{3}

tga−ctga

tga+ctga

​

=

2−0,5

2+0,5

​

=

1,5

2,5

​

=

3

5

​

=1

3

2

​

б) \frac{sin \alpha }{cos \alpha }=2

cosα

sinα

​

=2 sin \alpha =2*cos \alphasinα=2∗cosα

\frac{sin a -cos a}{sin a+cos a} = \frac{2*cos a-cos a}{2*cos a+cos a}= \frac{cosa}{3cosa} = \frac{1}{3}

sina+cosa

sina−cosa

​

=

2∗cosa+cosa

2∗cosa−cosa

​

=

3cosa

cosa

​

=

3

1

​

в) \frac{2sin a+3cos a}{3sin a-7cos a} = \frac{4cos a+3cos a}{6cos a-7cos a} = \frac{7cos a}{-cos a}= \frac{7}{-1}=-7

3sina−7cosa

2sina+3cosa

​

=

6cosa−7cosa

4cosa+3cosa

​

=

−cosa

7cosa

​

=

−1

7

​

=−7

г) \frac{sin^2a+2cos^2 a}{sin^2a-2cos^2 a}= \frac{(2*cos a)^2+2cos^2 a}{(2*cos a)^2-2cos^2 a}= \frac{4cos^2 a+2cos^2 a}{4cos^2 a-2cos^2 a}= \frac{6cos^2 a}{2cos^2 a} = \frac{6}{2}=3

sin

2

a−2cos

2

a

sin

2

a+2cos

2

a

​

=

(2∗cosa)

2

−2cos

2

a

(2∗cosa)

2

+2cos

2

a

​

=

4cos

2

a−2cos

2

a

4cos

2

a+2cos

2

a

​

=

2cos

2

a

6cos

2

a

​

=

2

6

​

=3

Пусть A1, B1 и C1 — середины BC, AC и AB соответственно, O — центр данной окружности, $ \angle$ACB = $ \alpha$.

Поскольку $ \angle$A1C1B1 = $ \angle$ACB = $ \alpha$, то треугольник A1B1C1 равен треугольнику B1A1C. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника A1B1C, равны.

Пусть прямая OC пересекает вторую окружность в точке M. Тогда MA1 = MB1 и OA1 = OB1. Поэтому, если точки O и M не совпадают, то OC $ \perp$ A1B1, а т.к. CO — биссектриса угла ACB, то CA1 = CB1 и AC = BC = 4. В этом случае

AC + BC = 4 + 4 = 8 < 2$\displaystyle \sqrt{19}$ = AB,

что невозможно. Значит, предположение о том, что точки M и O совпадают, не верно.

Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда

$\displaystyle \angle$A1OB1 + $\displaystyle \angle$A1CB1 = 180o,

т.е.

2$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha$ = 180o, $\displaystyle \alpha$ = 60o.

Обозначим AC = x. Тогда по теореме косинусов

x2 + 16 - 4x = (2$\displaystyle \sqrt{19}$)2.

Из этого уравнения находим, что x = 10.

ответ

10.

Объяснение: