8класс. подобие треугольников. прошу, решите , которые на листочке! все

можно решать разными способами.

ниже предложены два с  самыми простыми, на мой взгляд, вычислениями. 

1)

формула медианы треугольника

м=0,5•√(2a²+2b²-c²). где а и b стороны, между которыми проведена медиана, с - сторона, к которой она проведена. 

обозначим треугольник авс, ав=вс=10,  ас=х, медиана ам=√153

√153=0,5•√(200+2x² -100)

возведя обе части уравнения в квадрат, получим

153= 0,25•(100+2х²) откуда

153: 0,25=100+2х²

2х²=512⇒

х²=256 

х=16 

вн - медиана, ⇒ан=сн=8

по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию, вн - его высота. ⇒

∆ авн прямоугольный. 

по т.пифагора ( или заметив, что ∆ авн - египетский) находим длину медианы  вн=6.

или 

2) 

продлим медиану ам на её длину до точки е, соединим в и с с т.е. четырехугольник авес - параллелограмм ( по признаку: диагонали в т.пересечения делятся пополам). 

по свойству параллелограмма 

d²+d²=(2•(a²+b²),  где d и d - диагонали параллелограмма, , а и b - его стороны. 

вс²+ае²=2•(ав²+ас²) 

ае=2•√153 ⇒

100+612=2•(100+ас²)  ⇒

ас=16

медиана вн находится, как в первом решении.  

Настолько мне понравилась, что я решил добавить решение. кстати, возможно, тут что-то не так : пусть стороны грани с площадью 6 равны a, b, c и пусть три остальных ребра равны x, y, z, я обозначу (неизвестный) периметр всех граней p. тогда a + b + c = p x + y + a = p x + z + b = p y + z + c = p если сложить последние три равенства, то получится 2(x + y + z) + (a + b + c) = 3p или x + y + z = p : ); откуда сразу следует, что z = a; y = b; x = c; получилось, что ребра, лежащие на скрещенных прямых, равны. то есть все грани имеют равные стороны, и, соответственно, равную площадь. все четыре грани тетраэдра - одинаковые треугольники. ну, теперь, если напрячься, можно сосчитать максимальную, минимальную и даже среднюю статистическую : площадь полной поверхности тетраэдра. 6х4 = 24