Впрямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы.докажите что угол противолежащий этому катету равен 30 градусов.

Достроим данный треугольник до равностороннего, продлив катет еще на одну его длину. в равностороннем треугольнике все углы равны и все стороны равны.отсюда следует, что второй катет является медианой, высотой и биссектрисой. следовательно, угол противолежащий катету равному половине гипотенузы, равен 30 градусам. что и требовалось доказать. 

МД₁=6

Объяснение:

Искомым расстоянием от точки пересечения медиан М, до плоскости π является отрезок МД₁.

Обозначим высоты от стороны АС к плоскости π: В₁К, АЕ, СЕ₁. Соединим точки Е и Е₁. Получим трапецию ЕАСЕ₁. В₁К || АЕ || СЕ, так как они перпендикулярны плоскости π. По теореме Фалеса если параллельные прямые, пересекая стороны угла отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на второй стороне угла, поэтому если АВ₁=В₁С, то ЕК=КЕ₁. → В₁К – средняя линия трапеции ЕАСЕ₁.

В₁К=(ЕА+Е₁С)÷2=(2+5)÷2=7÷2=3,5

Проведём перпендикуляры В₁Н и КК₁ к стороне ВК₁, получили трапецию В₁КК₁В.

В₁Н делит ВК₁, что К₁Н=В₁К=3,5, тогда ВН=11–3,5=7,5.

Рассмотрим ∆ВВ₁Н, он прямоугольный, ВН и В₁Н – катеты, ВВ₁ – гипотенуза. Медианы треугольника, пересекаясь, точкой пересечения делятся на отрезки в отношении 2 : 1, начиная от вершины треугольника, поэтому ВМ : МВ₁=2 : 1 и по теореме Фалеса ДН : В₁Д=2 : 1. МД || ВН, и МД отсекает от ∆ВВ₁Н подобный ему ∆МВ₁Д. Стороны ∆ВВ₁Н имеют 3 части (2+1=3), а стороны ∆МВ₁Д – одну часть. Пусть МД=х, запишем пропорцию:

МД : ВН=1 : 3

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних:

МД•3=ВН•1

3х=7,5•1

3х=7,5

х=7,5÷3

х=2,5

ДД₁=В₁К=НК₁=3,5

МД₁=МД+ДД₁=2,5+3,5=6

Окружность вторично пересекает AD в точке E.

AB - касательная. По теореме о касательной и секущей:

AB^2=AD*AE => 25*3=15*AE => AE=5

AB/AD =1/√3 =AE/AB

△EAB~△BAD (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

=> ∠ABE=∠ADB

∠ADB=∠CBD (накрест лежащие при BC||AD) => ∠ABE=∠CBD

EBCD - вписанная трапеция => равнобедренная, BE=CD=x

Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему.

∠BEA=∠BCD

△BEA~△BCD (по двум углам) => BE/BC=AE/CD => x/5=5/x => x=5

BC=BE=5 => BD=AB=5√3

ED=AD-AE =15-5 =10

Для треугольника EBD выполняется теорема Пифагора:

10^2 =5^2 +(5√3)^2 => треугольник прямоугольный

∠EBD=90° => ED - диаметр, радиус=ED/2=5

В треугольнике EBD высота из прямого угла:

h =BE*BD/ED =5*5√3/10 =5√3/2

S(ABCD) =1/2 (BC+AD) h =1/2 (5+15) 5√3/2 =50√3/2