Втреугольнике abc сторона ас=6/корень из pi, величина угла abc равна 60 градусов, а периметр треугольника равен 15/корень из pi. найти площадь вписанного в треугольник круга.

Пусть BC=a, AC=b, AB=c, P=a+b+c и r - радиус вписанной окружности.
Тогда т.к. cos(ABC)=1/2, то по т. косинусов b²=a²+c²-aс.
Кроме того, a²+c²=(a+c)²-2ac=(P-b)²-2ac, значит подставляя это в т. косинусов, получим  b²=(P-b)²-2ac-aс, откуда ac=((P-b)²-b²)/3=(P-2b)P/3.
Значит площадь S треугольника ABC равна
S=(1/2)*ac*sin(60°)=(P-2b)P/(4√3)=P*r/2, откуда
r=(P-2b)/(2√3)=(15-2·6)/(2√(3π))=√3/(2√π).
Значит площадь вписанного круга равна π·r²=π·3/(4π)=3/4.

более короткий).
Если обозначить через x,y,z отрезки на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны треугольника, то получим x+y+z=P/2 и x+y=b, откуда z=P/2-b. Т.к центр впис. окружности лежит на биссектрисе угла в 60 градусов, то r=z·ctg(30°)=(P-2b)/(2√3).

1) На произвольной прямой f возьмем точку H и проведем к ней перпендикуляр BH равный высоте треугольника.
2) На этой же прямой f отложим точки M и N так, что BM равен медиане и BN равен биссектрисе (циркулем с острием в точке B). Заметим, что N лежит между M и H.
3) Через точку M проведем прямую g, перпендикулярную f.
4) Продолжим биссектрису BN до пересечения с g в точке K.
5) Построим серединный перпендикуляр к отрезку BK до его пересечения с прямой g в точке О.
6) Нарисуем окружность с центром О и радиусом OB до пересечения с исходной прямой f в точках A и С. Так построенный треугольник ABC является искомым.

Объяснение. Пусть ABC - произвольный треугольник. Если О - центр его описанной окружности, M - середина AС, K - точка пересечения прямой ОM с описанной окружностью, то  ∠KBA опирается на дугу AK и ∠KBС  опирается на дугу СК. Но дуги АК и СК сами равны, т.к. OK - серединный перпендикуляр к хорде AC. Значит, ∠KBA=∠KBС, т.е. КB - биссектриса угла ABC. Т.к. биссектриса единственна, то ее точка пересечения с серединным перпендикуляром к стороне AC есть К, т.е. лежит  на описанной окружности, причем делит дугу AC пополам.

Собственно отсюда и следует построение. На шагах 1)-4) строим точку К. После чего надо построить окружность, проходящую через точки K и B и центр которой лежит на прямой g. Это мы делаем на шагах 5)-6), проведя серединный перпендикуляр к хорде BK и найдя О. Эта окружность с центром О и есть описанная около треугольника ABC, т.е. ее пересечения с прямой f дают точки A и C.

Для того, чтобы составить уравнение прямой, необходимо знать координаты направляющего вектора и координаты точки, принадлежащей этой прямой.

Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0

Направляющий вектор для прямой вектор СО. Для того, чтобы найти его координаты нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

С(-6; -3), О(0; 0)

Вектор СО = (0-(-6); 0-(-3))

Вектора СО = (6;3)

Коэффициент А в уравнении прямой равен ординате направляющего вектора, взятой с противоположным знаком.

А=-у=-3

Коэффициент В в уравнении прямой равен абсциссе направляющего вектора.

В=х=6

Подставляем коэффициенты А и В в общее уравнение прямой.

-3х+6у+С=0

Теперь координаты точки, принадлежащей прямой, подставляем в полученное равенство и находим С.

Точка О(0;0) принадлежит прямой.

-3*0+6*0+С=0

С=0

-3х+6у=0 - искомое уравнение прямой. Левую и правую часть уравнения сократим на (-3).

Получим: х-2у=0

ответ: х-2у=0