Найдите плошадь равносотроннего треугольника со стороной, равной (а)

Ну вообще площадь треугольника находится по формуле (1/2)*h*a, ну нам дан равносторонний треугольник, поэтому мы можем написать h как a*sin60 = a*корень из  3 деленное на  2 подставляем получившийся h в начальную формулу и получим. s=корень из 3 деленное на 2 умноженное на одну вторую умноженное на а в квадрате, перемножаем корень из 3 на два и одну вторую, будет ответ корень из 3 на 4 умноженное на а в квадрате.

S=1/2*основание*высоту. у равностороннего треуг. все стороны равны а.   если провети высоту в равностороннем треуг., то она поделит основание треугольника на 2 равных части по а/2. найдем высоту по т.пифагора:   а²=а²/2²+х²  х²=а²-а²/4  х=а/2   теперь подставим значения в формулу: s=1/2*a*а/2 =   a²/4

жил-был на свете треугольник. он был молод и одинок. он мало знал о том мире, где жил. и решил треугольник отправиться в путешествие, чтобы найти друзей и узнать побольше об окружающем мире.

шел он, шел, долго ли, коротко ли, и вдруг увидел детей, играющих в мячик. пригляделся - да это же треугольники! подбежал к ним и заговорил:

- , братья-треугольники!

- , треугольник. что ж ты такой радостный?

- а как же? собратьев встретил! смотрите, ведь мы с вами одинаковые!

- экий ты глупый, треугольник! какие же мы одинаковые? неужели ты не знаешь первого правила равенства треугольников? - спросил у него второй треугольничек.

- какое еще первое правило равенства? - удивленно спросил молодой треугольник.

- если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то они равны. посмотри, у нас с треугольничком и стороны меньше твоих, и углы. мы совсем неодинаковые.

расстроился треугольник, пошел дальше. идет он, идет, и видит: сидит на скамейке еще один треугольник, старый-престарый. подошел треугольник к старику и говорит:

- , дедушка. неужели и ты от меня чем-то отличаешься?

- ну, конечно, милок! ты посмотри: я треугольник равнобедренный, а ты - нет.

- что ты такое говоришь, дедушка? равнобедренный, нет, что за глупости?

- экий ты неразумный еще! смотри, у тебя каждая сторона немножко больше другой, а у меня - все равны. мы с тобой неодинаковые.

снова расстроился треугольник. пустился в путь снова. шел он долго ли, коротко ли. устал, присел на камешек отдохнуть. видит, идет мимо него треугольник с котомкой. обернулся на наш треугольник, подошел к нему, сел рядом и молчит. треугольник спрашивает у незнакомца:

- куда путь держишь, брат-треугольник?

- никуда. путешествую, пытаюсь мир познать, друзей найти. и все какие-то разные.

- я тоже. измеримся что ли, для интереса? вдруг, мы одинаковые?

и решили они попробовать, все равно делать нечего. нашел где-то треугольник линейку и измерил все стороны и углы между ними. и оказалось так, что все стороны и углы равны у этих двух треугольников. и обрадовались они безмерно. и решили они путешествовать вместе по разным уголкам мира, но не ссориться, ведь они равны. и жили они потом долго и счастливо.

Попробуем координатный метод стартуем в начале координат, от него вправо сторона длиной 15, вправо вверх сторона 14, и из точки (15; 0) влево вверх сторона 13 координата третей вершины найдётся из системы x^2+y^2=14^2 (x-15)^2+y^2=13^2 вычтем из второго первое x^2 + y^2 = 196x^2 + y^2 -  30 x  = -56 30х = 252 x = 42/5 y^2 = 196 - (42/5)^2  = 3136/25 y = +- 56/5, отрицательный корень нам не нужен y = 56/5 итак, три вершины а(0; 0) в(15; 0) с(8.4; 11.2) начнём с медиан. медиана из вершины а  пересекает сторону вс в точке 1/2((15; 0)+(8.4; 11.2)) = (11.7; 5.6) уравнение этой медианы y = 5.6/11.7 x медиана из вершины в    пересекает сторону ас в точке 1/2((0; 0)+(8.4; 11.2)) = (4.2; 5.6) y=kx+b 5.6=4.2k+b 0=15k+b k = -14/27 b = 70/9 y=-14/27x+70/9 и точка пересечения медиан найдётся из решения системы y = 5.6/11.7x  y=-14/27x+70/9 x =  39/5 y =  56/15 точка пересечения медиан  м(39/5; 56/15 )теперь высотыпроще всего с вертикальной. её уравнение x=8.4 уравнение прямой всв(15; 0) с(8.4; 11.2) y=kx+b 11.2=8.4k+b 0=15k+b k = -56/33 b = 280/11 y  =  -56/33x  +  280/11 собственно, нам b не нужно, а нужен угловой коэффициент для построения перпендикуляра к стороне bc в уравнении перпендикуляра угловой коэффициент будет равен k₁ = -1/k = 33/56 а b₁ равен 0, т.к. высота исходит из начала координат y = 33/56x x  =  8.4 решение  x =  42/5, y =  99/20 это координаты точки пересечения высотh(42/5; 99/20 )теперь биссектрисыуравнение стороны асy=11.2/8.4x=4/3x координата точки на расстоянии 1 от начала координат будет  y^2+x^2=1^2 16/9x^2+x^2 = 1 x=+-3/5, отрицательный корень не нужен x=3/5 y=4/5 единичный вектор по стороне ав будет иметь координаты (1; 0) среднее арифметическое между последними двумя точками, т.е. точка, принадлежащая биссектрисе 1/2((3/5; 4/5)+(1; 0)) = 1/2(8/5; 4/5) = (4/5; 2/5) уравнение биссектрисы из точки а  y=1/2x уравнение прямой вс было в прошлом пункте y  =  -56/33x  +  280/11 единичный вектор от точки в(15; 0) к точке с(8.4; 11.2) y^2+(x-15)^2=1^2 (-56/33x  +  280/11)^2+(x-15)^2=1 (4225 (x - 15)^2)/1089 = 1два решения  x₁   = 942/65x₂   = 1008/65 - второй корень, от точки с, нам не нуженx  = 942/65 y =  -56/33x  +  280/11  =  -56/33*942/65  +  280/11  = 56/65 единичный вектор от в к с (942/65; 56/65) единичный вектор от в к a (14; 0) их среднее арифметическое (926/65; 28/65) это вторая точка биссектрисы из угла в(15; 0) 28/65=k926/65+b 0=15k+b k = -4/7 b =  60/7 y  =  -4/7x  +  60/7 решаем совместно с  y=1/2x точка пересечения x = 8 y = 4 и это точка пересечения биссектрис l(8; 4) м(39/5; 56/15) h(42/5; 99/20) l(8; 4) площадь треугольника найдём через координаты, хотя возможны и другие методы s=((39/5-8)(99/20-/15-4)(42/5-8))/2 = -1/24