Abca1b1c1 правильная треугольная призма ac = 8 , a1c1 = 4 , sсеч = 6 корней из 3 см^2 . сечение проходит через точки bb1 b o(высота) . найти sбок .

1) Найдите площадь полной поверхности призмы.

площадь основания S1 =AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
боковая площадь S2 =AB*AA1*3 = 2*1*3=6
площадь полной поверхности призмы S3 = 2*S1+S2 = 2*корень(3) + 6

2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ACB1.
площадь основания S1 = AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
высота треугольника сечения h1 = корень(h^2+AA1^2)=2
площадь сечения призмы плоскостью ACB1 S4 = S1*h1/h = корень(3) * 2/корень(3) = 2

3) Найдите угол, который составляет прямая AB1 с плоскостью ABC.
тангенс угла = BB1/AB=1/2
угол = арктангенс(0,5)

4) Найдите угол между плоскостями AB1C и ABC.
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
тангенс угла = BB1/h=1/корень(3)
угол = арктангенс(1/корень(3)) = pi/6 = 30 градусов 

5) Найдите длину вектора AA1-AC+2B1B-C1C
AA1-AC+2B1B-C1C=CА+B1B+СC1=CА+A1A+AA1=CA
ответ - 2 см

6) Докажите, что прямая A1C1 параллельна плоскости ACB1.
прямая  A1C1 параллельна прямой АС, лежащей вплоскости ACB1, значит параллельна плоскости ACB1

Существует множество различных видов симметрии. К простейшим из них относятся:
а) симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия);
б) симметрия относительно точки (центральная симметрия);
в) симметрия относительно прямой (осевая симметрия);
г) симметрия вращения;
д) цилиндрическая симметрия;
е) сферическая симметрия.
Один из вариантов (в):
Две фигуры называются симметричными относительно некоторой прямой, если при перегибании плоскости чертежа по этой прямой они совмещаются.
В данной задаче вряд ли требуется перегибать плоскость бумаги.
Пусть требуется построить треугольник, симметричный данному относительно оси симметрии АВ.
Опустим из каждой вершины треугольника перпендикуляр к АВ.
Затем на продолжениях этих перпендикуляров отложим отрезки, равные расстоянию от вершин треугольника до АВ. Соединим эти отрезки.
Получившийся треугольник будет симметричным данному относительно прямой АВ. Т.е. если перегнуть чертеж по прямой АВ, то соответствующие вершины треугольника совместятся и совместятся сами треугольники.

A + B = 180° – C,
cos (A + B) = cos (180 – C) = –cos C.

Данное равенство переписывается так:

cos A + cos B + cos C = ³⁄₂.       (1)

Докажем, что из (1) следует A = B = C = 60°.

Для произвольного треугольника

cos A + cos B = 2 cos ½(A + B) cos ½(A – B),       (2)
cos ½(A + B) = cos ½(180° – C) = cos (90° – ½C) = sin ½C.       (3)

Равенство (3) показывает, что cos ½(A + B) — положительная величина, поэтому из (2) следует, что

cos A + cos B ≤ 2 cos ½(A + B) = 2 sin ½C.

Следовательно,

cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin ½C + cos C = 2 sin ½C + 1 – 2 sin² ½C =
= –2(sin ½C – ½)² + ³⁄₂.

Значит, для любого треугольника

cos A + cos B + cos C ≤ ³⁄₂,

причём равенство достигается при sin ½C = ½, cos ½(A – B) = 1, т. е. при A = B = C = 60°.

Итак, треугольник ABC правильный. Сторона равна 18/3 = 6. Биссектрисы (они же высоты и медианы) все три равны 3√3. Площадь (правильного) треугольника из них равна

¼√3 (3√3)² = ²⁷⁄₄√3.