Высота правильной четырехугольной призмы=2*корень из 3, сторона основания 2, найдите градусную меру угла между прямыми вв1 и dс1

Восновании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат. в условии не сказано, что призма прямая, может просто пропущено. если призма не прямая, то данных для решения недостаточно, а решение будет сложным, поэтому будем решать для прямой призмы. чертим призму, так, как она будет выглядеть, если одна грань призмы обращена к нам, а мы смотрим на призму спереди и чуть справа, то есть видим переднюю и правую грани. обозначим вершины при нижнем основании. ближнюю левую вершину - точкой а, и дальше по ходу часовой стрелки (дальнюю левую в, дальнюю правую с, ближнюю правую d. вершины при верхнем основании обозначим соответствующими буквами с индексом 1. примем, что задана диагональ призмы ас1. она равна (а) . проведем диагональ ав1 левой боковой грани аа1в1в. получили прямоугольный треугольник ав1с1 с прямым углом ав1с1 и гипотенузой ас1. угол в1ас1 этого треугольника и есть заданный угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани. по условию он равен 30 градусам. в1с1 - катет, лежащий против угла в 30 градусов, значит он равен половине гипотенузы, т. е. а/2 (это сторона основания, вопрос № 1). катет ав1 очевидно равен а*sqrt(3)/2. в1с1 - это сторона основания (квадрата) . значит все стороны оснований равны а/2. из прямоугольного треугольника ав1в с прямым углом в1ва и гипотенузой ав1 по пифагору находим вв1=sqrt(ab1^2-ab^2)=sqrt((а*sqrt(3)/2)^2-(a/2)^2)=sqrt(3*a^2/4-a^2/4)=sqrt(2*a^2/4)=a*sqrt(2)/2. это высота призмы. проведем диагонали (ас) и (вd) нижнего основания призмы (квадрата) . точку их пересечения обозначим к. очевидно, что если сторона квадрата равна а/2, то его диагональ равна a*sqrt(2)/2. рассмотрим прямоугольный треугольник ас1с. в нем ас=a*sqrt(2)/2 и сс1=вв1=a*sqrt(2)/2. значит треугольник ас1с - прямоугольный равнобедренный. углы с1ас и ас1с равны 45 градусам. угол с1фс и есть искомый по вопросу № 2 угол между диагональю призмы и плоскостью основания. площадь одной боковой грани аа1в1в равна ав*вв1=а/2*a*sqrt(2)/2=а^2*sqrt(2)/4, а площадь боковой поверхности (вопрос № 3) равна 4*а^2*sqrt(2)/4=а^2*sqrt(2). построим сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы. поскольку она параллельна диагонали ас1, значит ни одна из ее точек (нас интересует точка а) не принадлежит этой плоскости. отсюда следует, что искомая плоскость проходит через диагональ вd. поскольку искомая плоскость параллельна ас1, в ней должны быть прямые, параллельные ас1 и пересекающие вd. рассмотрим треугольник ас1с. точка к лежит на середине ас. проведем через нее прямую, параллельную ас1. это будет средняя линия треугольника ас1с, значит она равна а/2 и пересечет ребро сс1 посередине. обозначим эту точку м. теперь мы можем построить сечение. это будет треугольник вмd. очевидно, что он равнобедренный (вм=dм) , а км является его медианой, и высотой.  площадь треугольника вмd (вопрос № 4) равна вd*мк/2=(a*sqrt(2)/2)*а/2)/2=а^2*sqrt(2)/8

Начало координат в точку а(0; 0) точка в(16; 0) ищем точку c(x; y)  по известным расстояниям  ac = 35 и bc = 21 ac² = x² + y² = 35² bc = (x - 16)² + y² = 21² вычтем из первого второе x² -    (x - 16)² = 35² - 21² x² - x² + 32x - 256 = 1225 - 441 32x = 784 + 256 32x = 1040 x = 1040/32 = 32,5 y² = 35² - x² = 35² - 32,5² = 1225 - 1056,25 = 168,75 y = √168,75  (можно выразить в целых числах, если сильно хочется) c(32,5; √168,75) н(32,5; 0) 2 биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам ам/вм = ас/вс ам/(16-ам) = 35/21 = 5/3 3ам = 80 - 5ам 8ам = 80 ам = 10 м(10; 0) 3 tg(mch) = mh/ch = (32,5 - 10)/√168,75 = 22,5/√168,75 = 45/√675 = 45/√(225*3) = 45/(15√3) = 3/√3 =  √3 ∠мсн = arctg(√3) = 60° c первой попроще треугольник прямоуголен, и в нём острый угол 30° по т. пифагора 1² + (√3)² = 2² 1 + 3 = 4 верное равенство! медиана отсекает два равнобедренных треугольника.  в одном углы при основании по 30° в другом углы при основании по 60° (ну и вершине, и вообще он равносторонний) высота к гипотенузе является также медианой, биссектрисой и высотой в равностороннем треугольнике и на вопрос ответ 30°, поскольку биссектриса отсекает от угла в 60° половину.

Для правильной пирамиды. сторона (ребро) основания: 60/корень(2), то есть площадь основания so = 60*60/2 = 1800 см2 высота боковой грани находится по теореме пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами равными высоте пирамиды и половине стороны основания: h = корень(18*18 + 30*30/2) = корень(774). площадь треугольника боковой грани равна половине произведения высоты на основание: sб = (1/2)*корень(774)*60/корень(2).  площадь полной поверхности s = so + 4*sб = 1800  + 2*корень(774)*60/корень(2) или 1800  + корень(2)*корень(774)*60 = 1800  + 2*корень(387)*60 = 1800  + 6*корень(43)*60 = 360*(5+корень(43)) или примерно 4161 см2 - какое-то кривое число : )