Биссектриса угла a параллелограмма abcd пересекает сторону bc в точке m, а биссектриса угла с пересекает сторону ad в точке к. докажите, что треугольник abm-равнобедренный, а тркугольники abm и cdk равны.за рисунок отдельное )

Треугольник авм: угол вма и мак равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей, значит вм=ав и треугольник авм - равнобедренный. треугольники авм и сдк равны по стороне и двум прилежащим углам: ав=сд, угол в=углу д (противоположные углы паралелограмма равны) и угол ксд = углу мав т к ам и ск биссектрисы противоположных углов

Вектор kn: (-2-4=-6; )=3) = (-6; 3). вектор pm: ()=6; (-1-2)=-3) =(6; -3).формула вычисления угла между векторами: cos α  = (a·b)/|a|·|b|.

найдем скалярное произведение векторов:

a·b   =  (-6)*6 + 3*(-3) = -36  -  9 = -45.

найдем модули векторов:

|a| = √)² + 3²) =  √(36 + 9)  = √45  = 3√5, |b| = √(6²+3²)  = √(36 + 9)  = √45  = 3√5.

найдем угол между векторами:

cos α  = (a*b)/(|a|*|b |)  =-45/(√45*√45) = -45/45 = -1. угол равен arc cos(-1) = 180°.

способ 1)- наиболее  подробный

соединим центр о с а, в, с, д.

∆ аов и ∆ сод - равнобедренные ( боковые стороны - радиусы). 

проведем из   о высоту ∆ аов, точку пересечения   с ав обозначим м, с сд - н. 

отрезок ом  ⊥сд - как секущая, образующая равные накрестлежащие (   и соответственные) углы при пересечении параллельных прямых.

  в равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой.  ⇒

ам=вм; сн=дн.

∠мод=∠мос;   ∠аом=∠вом⇒

∠мод -∠аом=  ∠аод

∠мос -  ∠вом=∠вос

если из равных величин вычесть по равной величине, оставшиеся части - равны.  ⇒

∠аод  =∠вос - эти углы - центральные. 

равные центральные углы опираются на равные дуги.  ⇒

◡ад=◡сд, что и требовалось доказать. 

способ 2)

соединим а и д, в и с. 

четырехугольник авсд имеет две параллельные стороны,  ⇒ является трапецией. 

в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. 

следовательно. хорды ад и вс равны.

равные хорды стягивают равные дуги.  ◡ад=◡сд, ч.т.д.

способ 3) как дополнение к способу 2)

т.к. в равнобедренной трапеции диагонали равны, они при пересечении образуют два равнобедренных подобных треугольника, и тогда   углы   асд и вдс равны, а равные вписанные углы опираются на равные дуги.  ⇒

◡ад=◡сд, ч.т.д.