Впрямоугольном треугольнике биссектриса наибольшего угла образует с гипотенузой углы, один из которых в два раза больше другого. найдите острые углы данного треугольника.

Пусть углы между биссектрисой и гипотенузой будут х и 2х.  рассмотрим треугольник снв. здесь < hcb=45°, т.к. сн - биссектриса, < chb=2x. зная, что сумма углов треугольника равна 180°, найдем неизвестный угол в: < b=180-< hcb-< chb=180-45-2x=135-2x в треугольнике асн точно так же найдем угол а: < a=180-< ach-< ahc=180-45-x=135-x для прямоугольного треугольника авс запишем сумму всех его углов: < a+< b+< c=180 (135-x)+(135-2x)+90=180 360-3x=180 3x=180 x=60 значит < b=135-2*60=15° , < a=135-60=75°

Пусть  o  — центр окружности. предположим, что точка  q  лежит на продолжении диаметра  mp  за точку  p. из прямоугольного треугольника  onq  находим, что  qn = on· ctg60 =   ·   =  , oq=2nq =2.  тогда  qm=mo+oq= +2 . по теореме о внешнем угле треугольника    mon =90+60 =150 градусов по теореме косинусов из равнобедренного треугольника  mon  находим, что  mn2= om2+on2-2om· on cos150=6+6+2·6·  =12+6 .  по формуле для медианы треугольника  qd2=1/4 (2qn2+2qm2-mn2)= 1/4(2·2+2( +2 )2-12-6 )=1/4(20+10 ).  следовательно,  qd = 1/2   =

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. значит cd=ac: 2=10: 2=5 см в прямоугольном треугольнике adc по теореме пифагора находим катет ad: ad=√ac²-cd²=√10²-5²=√75=√25*3=5√3 см в прямоугольном треугольнике aed катет ed, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы ad. значит ed=ad: 2=5√3: 2=2.5√3 см в прямоугольном треугольнике aed по теореме пифагора находим неизвестный катет ае: ae=√ ad² -ed² =√ (5√ 3)² -(2.5√ 3)² =√ 25*3-6.25*3=√ 56.25=7.5 см