Площадь боковой поверхности конуса =32π см^2 , радиус его основания 4 см.найти высоту и угол между высотой и образующей конуса

Конус авс, во-высота конуса, ао=ос=радиус=4, площадь боковая=пи*радиус*образующая, 32пи=4пи*ав, ав=32/4=8, треугольник аво прямоугольный, во=корень(ав в квадрате-ао в квадрате)=корень(64-16)=4*корень3, ао=1/2ав, значит угол аво=30 -угол между образующей и высотой

R= 20 см - радиус описанной окружности a = 16√5 см - боковая сторона b - основание h - высота по теореме синусов 2r = a/sin(∠a) если ∠a - это угол при основании, то 2*20 = 16√5/sin(∠a) sin(∠a)  = 16√5/40 = 2√5/5 = 2/√5 cos(∠a)  =  √(1-sin²(∠a)) =  √(1-(2/√5)²) =  √(1-4/5) =  √(1/5) = 1/√5 высота треугольника h = a*sin(∠a)  = 16√5*2/√5 = 32 см половинка основания b/2 = a*cos(∠a) b = 2a*cos(∠a) = 2*16√5*1/√5 = 32 см площадь треугольника s = 1/2*b*h = 32²/2 = 512 см² tg(∠a)  = sin(∠a)/cos(∠a) = 2/√5/(1/√5) = 2 tg(∠a) = h/(b/2) 

напомним некоторые определения

определение:

окружностью с центром в точке о и радиусом r называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки о на расстояние r (см. рис. 1).

рис. 1

часть окружности      называется дугой.

дуга имеет угловое измерение.

градусная мера дуги    равна градусной мере соответствующего центрального угла  :

рассмотрим примеры:

рис. 2

определение

угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

 

рис. 3

задана окружность с центром о, вершина а лежит на окружности, стороны ав и ас угла пересекают окружность в точках в и с, угол    называется вписанным. он опирается на дугу  , эта дуга расположена внутри угла (см. рис. 3).

2. теорема о вписанном угле

вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. рис. 4).

рис. 4

доказательство:

рассмотрим несколько случаев.

случай 1: точка о принадлежит лучу ас (см. рис. 5).

рис. 5

доказать, что 

обозначим угол    через  , тогда угол    также будет равен  , так как треугольник    равнобедренный, его стороны ов и оа равны как радиусы окружности. угол    является внешним для треугольника  , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем:   , то есть угловое измерение дуги    есть  . таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

случай 2: точка о лежит внутри вписанного угла    (см. рис. 6).

рис. 6

доказать, что 

доказательство сводится к предыдущему случаю. проведем диаметр ad, обозначим угол    за    и тогда дуга    равна    (объяснение см. случай 1). угол    за  , тогда дуга    равна    (объяснение см. случай 1). вся дуга    равна:

угол    в свою очередь, равен  .

таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

случай 3: точка о находится вне вписанного угла (см. рис. 7).

рис. 7

доказать, что 

доказательство снова сводится к первому случаю. проведем диаметр ad, обозначим угол    через  , тогда дуга    (объяснение см. случай 1). угол    обозначим через  , тогда дуга    равна    (объяснение см. случай 1). дуга    является разностью большой дуги    и дуги  :

вписанный угол    равен  . таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. и теперь из этого вытекают важные следствия.

3. следствия теоремы о вписанном угле

следствие 1:

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. рис. 8).

рис. 8

угол    равен  , он вписанный и опирается на дугу  , значит, дуга равна  . но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы    и  , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны  , как и угол  .

таким образом, получаем:

следствие 2

вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. рис. 9).

рис. 9

теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих .

4. теорема о хордах

произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

рис. 10

доказать, что 

доказательство:

рассмотрим треугольники    и    (см. рис. 10). данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы    и  ; вписанные углы    и    опираются на одну и ту же дугу  . выпишем соотношение подобия:

применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось доказать.