На сторонах ab, bc и са равностороннего треугольника авс отмечены соответственно точки к, l, m так, что ак=вl=см . докажите, что треугольник klm также является равносторонним

Так как тр-к равносторонний, то ak=kb=bl=lc=cm=am; углы = 60, то тр-ки равны по двум сторонам и углу между ними, а значит и kl=lc=km, то тр-к - равносторонний.

Тут главное разобраться что есть, что

ABCD- прямоугольная трапеция где ∠A=45° AD,BC - основания ⇒

BC=12√2- как меньшее основание, AD-большее основания, CD- меньшая боковая сторона с углами ∠С=∠D=90° при основаниях

АВ-большая боковая сторона

Для решения решения задачи опустим высоту BH на большее основание AD⇒∠BHA=∠BHD=90° ⇒ Получим прямоугольник BCDH т.к ∠C=∠D=90° по условию ABCD- прямоугольная трапеция и  ∠BHD=90° ⇒

BC=HD=12√2. ∠BHD=90° ⇒ΔBDH - прямоугольный тогда по теореме Пифагора BD²=HD²+BH²

BH=√(BD²-HD²)=√(18²-(12√2)²)=√36=6

∠BHA=90°⇒ΔBHA- прямоугольный треугольник, где AB- гипотенуза, BH- противолежащий катет к углу ∠A=45°

тогда по определению синуса⇒sin∠B=BH/AB

AB=BH/sin∠B=6÷sin45°=6÷√2/2=6√2

№1
Решение:
Теорема Пифагора
СВ=√(АВ²-АС²)=√(13²-5²)=√(169-25)=
=√144=12
СD=AC*CB/AB=5*12/13=60/13=
=4цел8/13
Пропорциональные отрезки прямоугольного треугольника.
АС²=АD*AB; отсюда →
АD=AC²/AB=5²/13=25/13=1цел12/13;
BD=AB-AD=13-25/13=11цел26/13-25/13=11цел1/13
ответ: АD=1цел12/13; ВD=11цел1/13; СD=4цел8/13; СВ=12;

№2
Решение:
Теорема Пифагора
СВ=√(СD²+DB²)=√(3²+4²)=√(9+16)=
=√25=5
Пропорциональные отрезки прямоугольного треугольника:
СВ²=АВ*DB; →
AB=CB²/DB=5²/4=25/4=6,25
AD=AB-DB=6,25-4=2,25
CA=√(AD*AB)=√(2,25*6,25)=
=√14,0625=3,75.
ответ: АВ=6,25; АD=2,25; CB=5; CA=3,75;