Сумма двух внешних углов треугольника при разных вершинах втрое больше третьего внешнего угла.докажите что данный треугольник-прямоугольный

Обозначим  внутренние углы треугольника х у 180-х-у составим  уравнение  из условия : внешние  углы: 180-х 180-у 180-(180-х-у)=х+у по  условию  : (180-х)+(180-у)=3(х+у) 360-х-у=3х+3у 4(х+у)=360 х+у=90 т.о.  сумма двух внутренних углов =90, знначит третий угол треугольника равен 180-х-у=180-90=90, следовательно треугольник прямоугольный.

Пусть в данном треугольнике углы  x,  y,  z. внешний угол, смежный с углом  x, равен  y+z, внешний угол, смежный с углом  y, равен  x+z,  внешний угол, смежный с углом z, равен  x+y,  тогда  x+y+z+z=3(x+y) 180+z=3(180-z) 180+z=540-3z 4z=360 z=90, значит данный треугольник прямоугольный

  кв и аж -медианы основания пирамиды. р - точка касания цилиндра грани пирамиды. рассечем пирамиду плоскостью, проходящей через точки дкв.  эта секущая плоскость пройдет через медиану основания пирамиды и через ось цилиндра. значит в этой плоскость сечения   цилиндра изобразится в виде квадрата.( цилиндр и плоскость его сечения изображены красным цветом).   поскольку пирамида правильная, то в её основании лежит равносторонний треугольник. в таком треугольнике медиана кв является и высотой на ас.   значит кв = √(вс² - кс²) = √(3 - 3/4) = √9/4 = 3/2. ко = трети от вк = (3/2)/3 =0,5. радиус цилиндра - рм обозначим х. высота цилиндра 2х. из подобия треугольников док и дмр   следует, что   до/ок = дм/мр или 3/0,5 = (3-2х)/х, или 3х = 1,5 - х, или 4х=1,5. отсюда х=1,5/4 =3/8.   площадь боковой поверхности цилиндра = π2х×2х = π4 x² = π16*9/64 = 2,25π

Так как отрезок  mn параллелен стороне ac и пересекает стороны треугольника ab и bc, то углы, прилежащие к отрезку mn и к стороне треугольника ac равны- это признак подобия двух треугольников: abc и mbn. ac/mn=51/17=3 отношение треугольника mbn к abc= 1/3, так как треугольники подобны, то между их сторонами такое же отношение 1 к 3. чтобы найти сторону, нужно bc/3   bc-? найдём с уравнения: пусть "x"= длине bc, тогда bn="x/3", так как остальная часть равна 32, то уравнение будет таким: x/3+32=x; уравнение к общему знаменателю "3", оно будет таким: (x+32*3)/3=3x/3; от знаменателя можно избавится x+96=3x;   2x=96;   x=96/2=48. 48/3=16 длина mn. ответ: mn=16.