Впрямоугольном треугольнике abc катет ac равен 12, а синус острого угла abc равен 4/5. найдите периметр треугольника.

Смотри решение внизу)

Ac/bc=sin  abc bc=ac/sin  abc=12*5/4=15 ab=√(bc^2  -  ac^2)=√(15^2-12^2)=√(225-144)=√81=9 p=9+15+12=36

1. по теореме пифагора найдем неизвестный катет ав в прямоугольном треугольнике авс: ав=√ac² - bc² =√(6√2)²- 6² = √36*2-36=√36=6 получаем, что треугольник авс - равнобедренный, значит углы при его основании ас равны: < bac=< bca=(180-90): 2=45° 2. < bca=< cad как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых вс и ad секущей ас,< cad=45° 3. треугольники авс и aed подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. в нашем случае: < b=< aed=90°, < bca=cad=45° 4. зная тангенс угла acd запишем: tg acd = ed/ec, отсюда ec=ed/tg acd= ed/2 5. для подобных треугольников можно записать: ab: ae=bc: ed.  ae=ac-ec=6√ 2-ed/2, ae= . запишем отношение для подобных треугольников как: ed=4√2 6. ес=ed/2=4√2/2=2√2

Центр описанной окружности находится на пересечении перпендикуляров к серединам сторон треугольника.  если провести отрезок км между серединами известных сторон, то по свойству подобия треугольников он будет равен половине искомой стороны. четырехугольник оквм имеет два прямых угла и две диагонали: одна ов - это радиус описанной окружности и искомая км. обозначим углы кво и овм соответственно  α и  β. стороны ок и ом найдем по пифагору: ок =  √(r² -  (13/2)²) =  √((65/6)²-169/4) = 52/6 = 26/3. ом =  √(r² -  (20/2)²) =  √((65/6)²-100) =  √625/36=  25/6. cos  α = (13/2) / (65/6) = 39/65. cos  β = 10 / (65/6) = 12/13. sin  α = (26/3) / (65/6) = 52/65. sin  β = (25/6) / (65/6) = 5/13. угол кво равен  α +  β.   cos (α+β) = cos  α*cos  β - sin  α*sin  β. cos (α+β) = (39/65)*(12/13) - (52/65)*(5/13) = 16/65. c =  √(a²+b²-2abcos(α+β для треугольника квм а = 6,5 = 13/2, в = 20/2 = 10. с =  √((169/4)+100-2*(13/2)*10*(16/65)) =  √(28665/260) =  =  √(441/4) = 21/2 = 10,5. искомая сторона треугольника равна 2*с = 2*10,5 = 21.