Сколько досок длиной 4м , ширина 20см и толщиной 30мм выйдет из бруса длиной 80дм, имеющего в сечении прямоугольник размером 30см•40см?

1)30*40=1200(см2) площадь сечения бруса 2) 3см*20=60(см2) площадь сечения одной доски 3) 1200:60=20(досок) умещается в сечение 80дм=8м значит из длины можно напилить ещё 20 досок 4) 20*2=40(досок) выйдет из всего бруса

1. SABC - пирамида, АВ = ВС = √5, АС = 4.

Пусть SO - высота пирамиды, тогда АО, ВО и СО - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы SAO, SBO и SCO - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. Тогда ΔSAO = ΔSBO = ΔSCO по катету (общий SO) и острому углу.

Значит АО = ВО = СО, значит О - центр описанной около АВС окружности.

Стоит запомнить: Если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Так как треугольник АВС равнобедренный, О лежит на высоте ВН, проведенной к основанию. ВН является и медианой: АН = 2.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора

ВН = √(АВ² - АН²) = √(5 - 4) = 1, ⇒

sin∠BAH = BH / AB = 1/√5

По следствию из теоремы синусов:

2R = BC / sin∠BAH = √5 / (1/√5) = 5

R = 5/2 = 2,5, т.е. ВО = 2,5

ΔSBO прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:

SO = BO = 2,5

V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO

V = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.

Так как ВО больше ВН, центр описанной около треугольника АВС окружности лежит вне треугольника. Чертеж пришлось уточнить.

2. Если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. О лежит на высоте ΔАВС, так как он равнобедренный.

ВН - высота и медиана, ⇒ АН = СН = АВ/2 = 3 см.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора

АВ = √(ВН² + АН²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.

sin∠BAH = BH/AB = 9/(3√10) = 3/√10

По следствию из теоремы синусов:

2R = BC / sin∠BAH = 3√10 / (3/√10) = 10

R = 10/2 = 5 см, т.е. ВО = 5 см

ΔSOB: ∠SOB = 90°, по теореме Пифагора

SO = √(SB² - BO²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO

V = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³

Даны два подобных треугольника АВС и А1В1С1. Соответственные углы у них равны, сходственные стороны - подобны.
Построим биссектрисы ВЕ и В1Е1. Рассмотрим треугольники АВЕ и А1В1Е1. Они также подобны, например, по стороне и двум прилежащим к ней углам:
- т.к. угол В равен углу В1, а ВЕ и В1Е1 - биссектрисы, то угол АВЕ будет равен углу А1В1Е1;
- углы А и А1 равны как соответственные у подобных треугольников АВС и А1В1С1;
- сторона АВ подобна стороне А1В1 по условию, и мы можем написать соотношение этих сторон как
АВ:А1В1=k, где k - коэффициент подобия. 
Такое же соотношение сходственных сторон с тем же коэффициентом будет справедливо и для ВЕ и В1Е1 в треугольниках АВЕ и А1В1Е1: 
ВЕ:В1Е1=k. Что и требовалось доказать.