Найдите площадь ромба, сторона которого равна 39 см, а разность диагоналей - 42 см.

ромбавсд, ас и вд перресекаются в точке о под углом 90, и делятся пополам, ас-вд=42, во=од=1/2вд=2х, ао=ос=1/2ас=(42+2х)/2=21+х

треугольник аов прямоугольный, ав=39, ав в квадрате=во в квадрате+ао в квадрате, 1521=х в квадрате+441+42х+х в квадрате, х в квадрате+21х-540=0, х=(-21+-корень(441+2160)/2=-21+-51/2, х=15=во, ао=21+15=36, вд=2*во=30, ас=2*ао=2*36=72, площадьавсд=1/2*ас*вд=1/2*30*72=1080

Описанная вокруг abc окружность имеет центр в точке m.  пусть другой конец диаметра, проходящего через точку c - точка е. кроме того, пусть точка f на этой окружности лежит на продолжении ch. поскольку ce - диаметр, то угол efc прямой, то есть ef ii ab.  биссектриса угла abc делит дугу afeb пополам. пусть точка n на окружности лежит на продолжении биссектрисы, тогда дуги an и nb равны (это дуги в четверть окружности). из параллельности ef и ab следует что дуги af и be равны, следовательно, равны и дуги fn и ne.  поэтому cn - биссектриса угла fce, что и требовалось доказать.

Ао - должен быть диагональю некоторого прямоугольного параллелепипеда. построим его. итак, у нас авсda1b1c1d1(авсd- верхнее основание)проведём: 1) из точки о перпендикуляр на вd. появится точка к. 2) из точки к проводим параллельно аd и параллельно ав ( на аd появилась точка n, на ав - точка р)  аркn- основание нашего нового параллелепипеда, в котором ао - диагональ) 3) строим нижнее основание этого параллелепипеда. для этого из точки р проводим || aa1  (появилась на а1в1 точка m)  , из точки n  проводим || aa1 ( появилась на а1в1 точка f) 4) вот наш новый параллелепипед: аркna1mof в нём    ао - диагональ. значит вектор ао = ар + аn + aa1 ( это векторы) теперь ищем эти слагаемые: ар= 1/3 а, аn = 2/3ad, aa1 = c осталось найти ad по т пифагора из  δаdd1. ad²= b²- c²⇒ ad=√(b² - c²) ответ: ао = 1/3 а + 2/3√(b² - c²) + c ( это всё векторы.)