Периметр прямоугольника равен 70 см. найдите измерения прямоугольника, если известно, что, увеличив длину на 10 см, получим удвоенную ширину прямоугольника ,

высота, отрезок, равный половине длины стороны основания, и апофема составляют равнобедренный прямоугольный треугольник.поэтому диагональ ( апофема) равна а√2, где а - половина длины стороны основания5=а√2а=5: √2=2,5√2сторона основания ( квадрата)=2а.2а=5√2

площадь основания

s1=(2а)²=(5√2)²=50 см²

площадь 1 грани = произведению апофемы на половину стороны основания

s грани =5*2,5√2=12,5√2

площадь боковой поверхности равна площади 4-х граней.

4 s2=12,5√2*4=50√2

площадь полной поверхности s полная = 50+50√2=50(1+√2) см²

подробно.

площадь основания a^2; диагональ основания a*корень(2). это - основание треугольника, который - диагональное сечение. треугольник этот равнобедренный (боковые стороны - ребра пирамиды). высота этого треугольника, проведенная к основанию - это высота пирамиды. обозначим ее н.

получаем а^2 = н*a*корень(2)/2; получается, что н тоже равно  a*корень(2).

теперь надо найти апофемы боковых граней. 

выберем какую-то сторону основания и проведем в боковой грани, её содержащей, апофему. проекция этой апофемы перпендикулярна этой стороне, потому что лежит в плоскости, которая перпендикулярна этой стороне - а именно, плоскости, в которой лежат апофема и высота пирамиды (каждая из этих прямых перпендикулярна этой стороне). следовательно, апофема является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованной высотой пирамиды и отрезком, выходящим из центра квадрата в основании и  препендикулярным стороне. такой отрезок, очевидно, равен а/2. легко сосчитать, что апофема m равна

m = a*корень(2 + 1/4) = a*корень(9/4) = а*3/2. 

площадь боковой грани составит m*a/2 = a^2*3/4, всего боковых граней 4.

ответ. боковая поверхность равна 3*a^2