1. точка м находиться за плоскостью квадрата с диагональю 12 см и отдалена от всех вершин на 10 см. чему равно расстояние от точки м до плоскости квадрата? 2. при каком значении n вектор а(n; 2; 0, 5) и вектор b (5; -2; -2) перпендикулярные? 3. периметр основы правильной четырехугольной пирамиды = 1м, апофема - 0, 25м. чему равна площадь боковой поверхности пирамиды?

1) рисуем пирамиду. в основании квадрат. вершина м. проекция вершины точка о- точка пересечения диагоналей квадрата. тогда проекции отрезков ам,вм,см и дм равны, как половинки равных диагоналей ао=ов=ос=од. значит и отрезки ам,вм,см,дм равны. точка м равноудалена от вершин квадрата из прямоугольного треугольника амо по теореме пифагора мо²=ам²-ао² ответ мо=8 2) векторы перпендикулярны если их скалярное произведение равно нулю. векторы заданы координатами. скалярное произведение равно сумме произведений попарных координат n·5+2·(-2)+0,5·(-2)=0 5n-4-1=0 5n=5 n=1 3) боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из площадей четырех треугольников. в основании пирамиды лежит квадрат, обозначим его сторону х м, периметр квадрата  по условию равен 1 м, значит 4х=1, х=0,25 м площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (апофему) таких треугольников 4 итак, боковая поверхность равна 4· 1/2· 0,25 ·0,25 (кв. м)=0,125 кв м

Теорема: если 2 стороны, и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. док-во: так как угол а = углу   а1, то треугольник авс можно наложить на   треугольник а1в1с1 так, что вершина а совместится с вершиной а1, а сторны ав ас наложатся соответственно на лучи а1в1 и а1с1. поскольку ав=а1в1, ас=а1с1, от сторона ав совместится со стороной а1в1; в частности совместятся точки в и в1, с и с1. следовательно совместятся стороны вс и в1с1. ттреугольники авс и а1в1с1 полностью вовместились, а значит, теорема доказана

Кс=х ,  мк=20  ,  md=16 , cd=4  kc - биссектриса по свойству биссектрисы:   кс: мk=cd: md                                                 x: 20=4: 16                                                   x=(20*4): 16=5