:} 1) равнобедренный треугольник с высотой, проведённой в основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиусом 10 см. найдите площадь треугольника и его боковую сторону. 2) четырёхугольник mnkp вписан в окружность с диаметром mk. найдите углы четырёхугольника, если дуга nk=140 градусов, дуга pk=100 градусов.

Решение: 1) а)  радиус описанной окружности около треугольника  - расстояние серединного перпендикуляра от концов отрезка. известно, что радиус равен 10 сантиметрам. (см. рис. 1). очевидно, из рисунка видно, что оставшаяся часть bo также является радиусом, равным 10 см. oh = 16-10=6 (см). рассматриваем маленький прямоугольный треугольник  δoha. мы знаем его гипотенузу и катет. нам остается только применить т. пифагора: поскольку высота в равнобедренном треугольнике является медианой, то ah=hc=6 см. вся часть, очевидно, равна 12 см. площадь равна основания на высоту. поэтому,  см². б) рассмотрим треугольник  δbha. нам надо найти гипотенузу, используя два известных катета. применяем теорему пифагора: см. ответ:   а) 96 см². б) 2√73 см 2) угол mnk опирается прямо на дугу, следовательно, этот угол будет составлять половину от 180 градусов, т.е. угол mnk равен 90. раз четырехугольник вписан в окружность, а по свойству вписанного четырехугольника в окружность, угол mnk будет равен углу mpk, т.е. также 90 градусов. найдем, чему будет равен угол mnp. этот угол опирается на дугу pkn, градусная мера которой равна сумме 100 и 140, т.е. 240 градусов. угол mnp будет составлять половину от этой градусной меры, т.е. 120 градусов. отсюда мы найдем, что последний угол будет равен 60 градусов. ответ:   90,90,60,120

1. в треугольнике авс проведены биссектрисы an и bl которые пересекаются в точке о. угол аов равен 98градусов. найдите внешний угол при вершине с. ответ дайте в градусах.

2. в треугольнике авс проведены высоты ah и  bk которые пересекаются в точке о. угол аов равен 104 градуса. найдите угол с.ответ дайте в градусах.

3.один из углов параллелограмма равен 31градус. найдите больший из углов параллелограмма.ответ дайте в градусах.

№1.  в тр-ке aob: угол bao+ угол abo = 180-98 = 82в тр-ке abc: угол a+ угол b = 82*2 = 164 (т.к. an и bl бисс углов a и b)внешний угол равен сумме двух углов не смежных с ним ⇒   внеш угол с = 164№2. аналогично, внешний  угол с=152.    №3. см. приложение.  углы авс и ваd односторонние. а сумма односторонних углов в параллелограмме  равна 180'следовательно, угол авс=180'-31'=149'.ответ: угол авс=149'

1площадь равнобедренного треугольника равна s, а противолежащий основанию угол между медианами равен 90°. найдите длину основания треугольника.назовем данный треугольник авс, а точку пересечения медиан из а и с - буквой о.  опустим из вершины в медиану вн на ас. т.к. треугольник равнобедренный, вн еще и высота треугольника и перпендикулярна ас.  ан=нс.  треугольник аос - прямоугольный и равнобедренный, т.к. треугольники аон и сон равны.  он=ан=сн.  медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины.во: он=2: 1.тогда вн=3 он. но он=ас/2  высота вн=3ас/2  s=h*a: 2  а=ас  h=bн=3ас/2=3а/2  s=(3а/2)*а: 2  s=3а²/4  а²=4s/3  а=√(4s/3)=2√(s/3 2.прямая, перпендикулярная диаметру mn полукруга с радиусом 6, пересекает этот диаметр в точке к, (мк: кn=2: 10), а дугу полуокружности в точке l. найдите радиус окружности,  касающейся отрезков  lk, kn и дуги ln.соединим l, m и n. треугольник     lmn -    прямоугольный, т.к. угол мln опирается на диаметр.   lк   в нем - высота и, по свойству высоты прямоугольного треугольника из прямого угла к гипотенузе, является средней пропорциональной отрезков мк и кn гипотенузы (диаметра) mn.  mn=2r=6*2=12.тогда мк=2, кn=10lk²=mk*kn-2*10=20   lk=√20=2√5центр вписанной в угол окружности лежит на   биссектрисе.   биссектриса   угла lkn   делит прямой угол lkn на два по 45°  пусть точка касания окружности с кn будет е, а со второй касательной из n - т.  тогда по свойству касательных из одной точки  еn=  nt,  а nl - биссектриса угла knt.   точка о   пересечения биссектрис углов  knт  и lkn - центр вписанной окружности.  расстояния от любой точки биссектрисы до сторон угла, в котором она проведена, равны.  ое⊥kn.  от⊥nt  ое=от=r    угол ktn=90°   так как угол ткn равен 45°,    прямоугольный треугольник ktn-   равнобедренный.  тн  ⊥  mn -   высота, биссектриса и медиана равнобедренного  ⊿ ktn  ⇒  по свойству медианы прямоугольного треугольника кн=нn=тн=10: 2=5  кт =кн: (cos 45°)=5: (√2)/2=5√2  рассмотрим треугольники ктн и kоe. они прямоугольные, имеют общий угол при к  ⇒ они  подобны.  кт: kо=th: oe  ое=от=r  ko= кт-от=5√2-r  5√2: (5√2-r)=5: r произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.  5√2 r=5*(5√2-r) сократим на 5:   √2 r=5√2  -r  √2 r+r=5√2    r*(√2 +1)=5√2     числитель   и знаменатель в правой половине уравнения на (√2-1) r= 5√2:   (√2+1)= 5√2*(√2-1): (2-1)=5*(2-√2)=≈2,93