Впараллелограмме abcd: ab=4; проведенная высота bh=3; dh=6. найдите площадь параллелограмма. варианты ответов: 1) 18 кв. ед. 2) 24 кв. ед. 3) 12 кв. ед. 4) 9 кв. ед.

из вершины d опустим высоту dh на сторону bc. точку пересечения диагоналей ромба обзовём к.

т.к в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то ск = ac/2 = 16/2 = 8, bk =kd = bd/2 = 12/2 = 6

из прямоугольного треугольника bkc гипотенуза bc = sqrt(bk^2 + kc^2) = sqrt(8^2 + 6^2) = 10

площадь треугольника bcd, вычесленная как половина произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону

с одной стороны равна 1/2 * bd * ck

с другой стороны 1/2 bc * dh

отсюда dh = bd * ck / bc = 12 * 8 / 10 = 9.6

dh является расстоянием между прямыми md и bc т.к перепендикулярен обеим прямым. отсюда угол между bmc и bdc равен арктангенсу md/dh = arctg(9.6 / 9.6) = 45 градусов

плоскость abc и bdc - это одно и то же, т.к все точки ромба лежат в одной плоскости. поэтому искомый угол равен 45 градусам

пусть трапеция аcвd, проведем через с прямую ii bd до пересечения с продолжением ad в точке е. треугольник аве имеет ту же площадь, что и трапеция, потому что его основание ае = аd + вс, а высота аве и abcd - это расстояние от точки с до ав (то есть высота общая).

таким образом, нам надо найти площадь треугольника (аве) со сторонами 12, 16 и 20. легко видеть, что это египетский треугольник, подобный (3,4,5), то есть он прямоугольный. его площадь равна 12*16/2 = 96

мы так походя доказали, что диагонали взаимно перпендикулярны. если не понятно про "египетский треугольник", проверьте, что 12^2 + 16^2 = 20^2.