Окружности с центрами в точках i и j не имеют общих точек. внутренняя общаякасательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношенииm: n. докажите, что диаметры этих окружностей относятся также m: n.

Нарисуй  правильный чертеж. м∈ав n∈bc p∈ac и  делит  стороны так,  что  mb=2am,  nc=2bn, ap=2pc,  т.е. соотношение1: 2 отношение  площадей треугольников имеющих равный (общий) угол равно произведению сторон содержащих этот угол. доказательство этого факта приводить не буду. желающие найдут (сделают : -) сами. рассмотрим, исходя из этого, треугольники авс и amp. s(abc)/s(amp) = (ab*ac)/(am*ap)              (1) примем  меньший  отрезок ам  за 1  часть,  соответственно mb  будет 2  части. т.е. ab/am  = 3/1,  ac/ap=3/2,  подставим эти соотношения в  выражение (1) для соотношения площадей треугольников  получим: s(abc)/s(amp)  =  (3*3)/(1*2) = 9/2, т.е.  s(amp)=(2/9)*s(abc) =(2/9)*s можно  провести аналогичные рассуждения для оставшихся треугольников,  но учитывая соотношения сторон легко : -) заметить, что площади всех маленьких треугольников amp, mbn, pnc равны и равны (2/9)*s. т.о. искомая площадь треугольника mnp будет равна s-3*((2/9)*s) = 1/3 s, одной трети площади abc, равной s. и ещё. в чем смысл подобных ? в том что ты учишься находить решение. сегодня это . через годы это будут другие, более серьезные проблемы. на этом сайте ты научишься только списывать. скачай себе  "гордин-планиметрия 7-9" и реши хотя бы одну на соотношение площадей. тогда я буду считать, что не зря потратил время, набивая всё это. с тебя "69" : -)  

Площадь этого пятиугольника просто сосчитать напрямую - он состоит из прямоугольника со сторонами b/2 и a√2/2, и треугольника с основанием a √2/2 h =  3b/4 - b/2 = b/4; гораздо интереснее решить эту вот как : ) - рассмотреть сначала проекцию сечения на основание.  прежде,  чем считать площадь проекции, я "накрою" квадрат основания сеткой, соединив между собой  все середины сторон, и проведя диагонали. основание "разрежется" на 16 равных  равнобедренных прямоугольных  треугольников, каждый площадью s1 = a^2/16.проекция сечения на основание "накроет" 4 таких треугольника в зоне треугольника abd. в зоне треугольника cbd (то есть с другой стороны от диагонали bd) проекция "накрывает" треугольник, который диагональю ac делится на два треугольника с площадями s1/2 ( то есть общая площадь проекции сечения 5a^2/16; ясно,  что косинус угла  между сечением и основанием равен  a√2/2b, поскольку сечение параллельно боковой стороне.  отсюда s = (5a^2/16)/(a√2/2b); ну и :