Равнобедренный треугольник с основанием 8 см вписан в окружность радиуса 5 см. найдите площадь этого треугольника

Т.к. радиус окружности равен  5 отсюда следует, что высота равна 10. середина окр. лежит на пересечении серединных перпендикуляров. площадь равна произведению половине основания на высоту. 8*10/2= 40

Здесь два случая.1.треугольник расположен над центром окружности(в этом случае его высота будет меньше радиуса окружности).2.треугольник расположен под центром окружности(в этом случае его высота будет больше радиуса окружности).итак,треугольник abc,центр окружности-точка о,bh-высота.1 случай.найдем ho из треугольника осн по теореме пифагора.получаем,что он=3.во=5,значит вн=5-3=2.найдем площадь треугольника.s=1/2*8*2=8боковая сторона: вс^2=16+4=20.вс=2 корня из 5.2 случай.он как мы уже нашли,равняется 3.тогда вн=5+3=8.s=1/2*8*8=32 bc^2=64+16=80.вс=4 корня из 5

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть х см - один катет, тогда (х - 14) см - другой катет. Уравнение:

х² + (х - 14)² = 34²

х² + (х² - 2 · х · 14 + 14²) = 1156

х² + х² - 28х + 196 = 1156

2х² - 28х + 196 - 1156 = 0

2х² - 28х - 960 = 0

х² - 14х - 480 = 0

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 · 1 · (-480) = 196 + 1920 = 2116

√D = √2116 = 46

х₁ = (14-46)/(2·1) = (-32)/2 = -16 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (14+46)/(2·1) = 60/2 = 30 (см) - один катет

30 - 14 = 16 (см) - другой катет

ответ: 30 см и 16 см.

Проверка:

30² + 16² = 34²

900 + 256 = 1156

1156 = 1156 - верно

  как известно, диагонали точкой пересечения делятся пополам, а противоаоложные стороны пар-мма равны. следовательно, противоположные по отношению друг к другу треугольники равны(по 3-ему признаку равенства треугольников), и площади их тоже равны.  осталось доказать, что площади двух "смежных" треугольников равны. рассмотрим их. одна сторона у них общая, примем за основание сторону, лежащую на диагонали. эти стороны у треугольников равны, т.к. точкой пересечения, повторюсь, диагонали делятся пополам. прощадь треугольника у нас равна половине основания, умноженного на высоту, проведенную к основанию. проведи к основаниям треугольников высоту - это будет один и тот же отрезок.  мы получили - основания у треугольников равны, высоты равны.     теорема доказана.