Впараллелограмме abcd известны координаты трех вершин: а(-1; 3), в(2; 4), с(7; 8 найдите координаты точки d.

расстояние  от  точки  до  плоскости  есть  перпендикуляр, проведенный  из  этой  точки  к  данной  плоскости. ad  перпендикулярна  alpha,  следовательно, ad  перпендикулярна  любойпрямой,  лежащей  в  плоскости  alpha.  получаем  два  прямоугольных  треугольника  -  adb  и adc. bd   -  проекция  наклонной  ab  на  плоскость  alpha.  аналогично,   dc -  проекция  прямойac  на  плоскость  alpha.

/_abd=45, /_acd=60

угол  между  проекциями  наклонных  -  угол  между  прямыми  bd и dc. /_bdc=150 (поусловию).  треугольник  adb: /_abd=45.  по  теореме  о  сумме  углов  треугольника  получаем/_bad=45

треугольник  adb  -  равнобедренный  прямоугольный. bd = ad = 9  см.

рассмотрим  треугольник  аdc  .  угол  асd=60,  значит,  угол  dac=30.  по  теореме  синусов  находим  dc.

9/sin 60 = dc/sin30;     dc=9*0,5/√3/2;   dc=3√3.

bc  находим  по  теореме  косинусов   bc^2=bd^2+dc^2-2*bd*dc*cosbdc.

вс^2=81+27-54√3*(-1/2√3)=189;   вс=√189=13,75.

ответ: 13,75  см.

1)рассмотрим треугольник авн: прямоугольный,т.к. вн -высота; т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 и угол авн=45,то угол ван=90-45=45,т.е. авн=ван ==> треугольник авн - равнобедренный с основанием ав. 2)т.к. боковые стороны равнобедренного треугольника равны,то вн=ан=5см. 3)рассмотрим треугольник внс: прямоугольный,т.к. вн -высота; т.к. в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30, равен половине гипотенузы, то нс=вс: 2 ==> нс=8: 2=4см. 4)ас=ан+нс; ас=5+4=9см. ответ: ас=9.