На отрезке ab выбрана точка c так , что ac=21 и bc=8. построена окружность с центром a , проходящая через c .найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки b к этой окружности.

опять все просто - треугольник составлен из 2 "египетских" (точнее, ему подобных, со сторонами 9, 12 ,15, приставленных друг к другу катетами 12). 

поэтому высота 12, площадь 108, периметр 48, радиус вписанной окружности 2*108/48 = 9/2;

радиус описанной окружности можно найти по формуле r = abc/4s, это элементарно. продолжу-ка я высоту к стороне 18 за основание до пересечения с перпендикуляром к боковой стороне, проведенным через один из концов основания. получившийся треугольник вписанный в окружность прямоугольный треугольник, его гипотенуза - диаметр. из подобия треугольников легко получается

(2*r)/15   = 15/12; r = 225/24 = 75/8;

любопытно отметить, что 2*r = 72/8; то есть разница r - 2*r = 3/8 - маленькая. эта разность равна 0 в правильном треугольнике. 

Втр-ке авс ав=18, вс=26, ас=32. напротив меньшей стороны лежит меньший угол (∠с), а две другие стороны примыкают к нему. в нашем случае это стороны вс и ас. пусть см - биссектриса, ам=х, вм=у. ав=ам+вм=х+у. у=ав-х=18-х. отрезки, на которые биссектриса делит противоположную сторону, относятся друг к другу так же, как и примыкающие к ним соответствующие боковые стороны: ам/вм=ас/вс х/у=32/26=16/13 у=13х/16 18-х=13х/16 288-16х=13х 29х=288 из двух отрезков ам и вм больший тот, к которому примыкает большая сторона. ас> вс, значит ам> вм ответ: больший отрезок