Втреугольнике abc известны длины сторон ab = 28, ac = 56, точка o - центр окружности, описанной около треугольника abc. прямая bd, перпендикулярная прямой ao, пересекает сторону ac в точке d. найдите cd

Если продлить ao до пересечения с окружностью в тоске c1, то  угол ac1b = угол acb - это вписанные углы, опирающиеся на дугу ab.поскольку ac1 - диаметр, то угол abc1 - прямой. поэтому у углов abd и ac1b стороны попарно перпендикулярны, то есть эти углы равны.(можно и так сказать. треугольник ac1b - прямоугольный, а bd - высота в этом прямоугольном треугольнике, поэтому образует с катетом угол, равный острому углу треугольника ac1b. высота в прямоугольном треугольнике делит его на два треугольника, ему же подобных, то есть - с такими же углами).получилось, что угол abd = угол ac1b = угол acb.  треугольники acb и adb имеют общий угол cab (он же - угол dab), и пару равных углов (угол abd = угол acb) , то есть эти треугольники подобны.  поэтому da/ab = ab/ac; da = ab^2/ac = 28^2/56 = 14; cd = ac - da = 42; то, что угол abd = угол acb, можно показать еще одним способом - если продлить bd до пересечения с окружностью в точке b1, то треугольник abb1 будет равнобедренный. действительно, ao перпендикулярен bb1, а точка o равноудалена от b и b1, поэтому все точки прямой ao равноудалены от концов отрезка bb1. поэтому угол ab1b будет равным углу abb1 (он же - угол abd). но угол ab1b опирается на ту же дугу, что и угол acb.

Отношение сторон данного треугольника - 3: 4: 5, т.е. это так называемый египетский треугольник. он прямоугольный, катеты 12 и 16.  высот в треугольнике 3. в прямоугольном две из них - катеты, и одна проведена к гипотенузе. высота к гипотенузе - перпендикуляр из вершины прямого угла к прямой, содержащей гипотенузу. катеты из той же точки - наклонные к гипотенузе.   наклонная длинней перпендикуляра, если они проведены из одной точки к одной и той же прямой.  ясно, что меньшей будет высота h(c), проведенная к гипотенузе.  s=a•h/2⇒ h(с)=2s/a для прямоугольного треугольника справедлива формула s=a•b/2. где a и b - катеты. 2s=12•16=192 h(c)=192: 20= 9,6 см. примечание. для произвольного треугольника, длина сторон которого известна, площадь можно найти по формуле герона. наименьшей высотой является высота, проведенная к наибольшей стороне. 

1. рассмотрим треугольники, образованные соединением середин сторон треугольника. они равны (по прямым углам и катетам). значит гипотезы равны => у четырёхугольника все стороны равны. 2. рассмотрим противолежащие углы образованного четырёхугольника. они равны развёрнутому углу минус два равных угла, прилежащих к гипотенузе. так как треугольники равны, то соответствующие углы равны, значит и противолежащие углы четырёхугольника равны. 3. параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. четырёхугольник, у которого противолежащие углы равны, является параллелограммом. следовательно, четырёхугольник - ромб. ч.т.д.