Высота bh параллелограмма abcd делит его сторону аd на отрезки ан=8 и hd=40.диагональ параллелограмма bd=50 .найдите площадь параллелограмма?

Для начала рассмотрим треугольник bhd: он прямоугольный, высота образует со стороной ad угол ∟90°. найдем высоту по т. пифагора: bh²+hd²=bd²bh= √(bd²-hd²)bh= √(2500-1600)= 30s= bh*ads= 30* (40+8)= 1440 .

найдём сторону a правильного многоугольника, вписанного в окружность с радиусом r:

 

,

 

где , n — число сторон правильного многоугольника.

 

для правильного треугольника имеем: .

 

найдём сторону a правильного многоугольника, описанного около окружности с радиусом r:

 

.

 

для частного случая правильного треугольника:

 

окружность у нас одна и та же (r = r).

 

находим отношение сторон:

 

 

итак, сторона описанного равностороннего треугольника в два раза больше вписанного.

 

площадь равностороннего треугольника со стороной a:

 

,

 

где h — высота треугольника, .

 

 

следовательно, площади относятся друг к другу как квадраты сторон.

 

 

p.s. решения правятся только со второй-третей попытки.

1)  ас - диагональ и делит параллелограмм на два равных треугольника.  можно вычислить площадь треугольника  авс  по ф.герона.  а можно вспомнить. что треугольник со сторонами 5,12, 13 - из пифагоровых троек, которая, наряду с треугольниками, имеющими отношение сторон 3 : 4 : 5 встречается в наиболее часто.  п ифагорова тройка— комбинация из трёх  целых чисел  , удовлетворяющих соотношению  пифагора :   с ²=a²+b² следовательно, ∆  авс - прямоугольный, и его площадь равна половине произведения катетов: s  ∆ fdc=5•12=60: 2=30 параллелограмм состоит из двух таких треугольников.  s (abcd)=2•30=60 (ед. плодащи) 2) одна из формул для нахождения площади треугольника: s=a•b•sin  α, где а и b - стороны,  α - заключенный между ними угол.  синус 45º=√2): 2 s=10•2•√2): 2= 5√2 (ед. площади)