Высота, опущенная из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника равна 4 см. найдите площадь этого треугольника.

Нарисуем равнобедренный  прямоугольный треугольник abc, с прямым углом a и высотой  ad,  опущенной из прямого угла. в равнобедренном треугольнике высота и медиана, проведенные к основанию, .  в прямоугольном треугольнике  медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы, следовательно: найдем площадь треугольника:

проведём диагонали ромба ас и вд. обозначим точку их пересечения о. треугольник сод прямоугольный поскольку диагонали ромба перпендикулярны. также прямоугольным является треугольник врд, поскольку вр -высота. они подобны так как имеют один равный острый угол сдв. следовательно углы рвд и осд равны. но угол осд равен углу оад (диагонали ромба делят углы пополам). следовательно угол рвд равен углу оад. аналогично, из подобия треугольников вдк и оад доказываем равенство углов двк и оав. поскольку сумма углов рвд и двк равна сумме углов оав и оад следовательно углы квр и вад равны.

на рисунке точка о соединяет точку м(ом - перпендикуляр, опущенный на треугольник), соединим точку м с серединами сторон треугольника, эти отрезки будут равны по 5 см. по условию, соединим точку о(центр окружности) с серединами сторон треугольника, катет полученного треугольника (являющийся радиусом) равен корню из (  (р - 10)(р - 10)(р - 12)    )          /    р, где р - полупериметр треугольника, получается корень из 9 ,это равно 3,следовательно радиус - катет прямоугольного треугольника равен 3. дальше по теореме пифагора находим другой катет.  мо = корень из    ( 25 - 9)  = 4. следовательно расстояние от точки м до плоскости равно 4 см. площадь круга  = пи * радиус в квадрате отсюда s = 16 * 3.14 = 18.84 = 19см^2.

ответ: 4 см, 19 см^2.