Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 40, боковые рёбра равны 101. найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

1)   Рисуем треугольник АВС ( C  - прямой,  А = 30 градусов,  АС = 48 см)
тогда  катет, лежащий против угла 30 градусов  равен половине гипотенузы,
т.е.  ВС = 1/2 АВ.
Примем ВС=х, тогда АВ = 2х,
тогда по теореме Пифагора   АВ²  =  АС²  + ВС²
                                             (2х)²   =  48²  + х ²
                                             4х²   =   48²  + х ²
                                              3х²   =   48² 
                                              х²   =   48²/3
                                               х = 48/√3 = 16*3/√3 =16√3 
Итак ВС = 16√3.
2)       Угол В =  90 - 30 = 60.  Пусть  ВМ  =  биссектриса угла В. 
Она делит угол на два угла по 30 градусов.
   Рассмотрим треугольник ВМС  -  он прямоугольный и  
угол МВС  =  30 градусов, значит  МС = 1/2 ВМ.
Пусть  МС = y,  тогда  ВМ = 2y,
тогда по теореме Пифагора  ВМ²  =  МС²  + ВС²
                                            ( 2y) ²  = y²  +  (16√3)²
                                               3y²  = 16² * 3
                                                y²  = 16²
                                                y  = 16
  =>  ВМ = 2y = ВМ = 2*16=32

ответ :  32.

2) Рассмотрим треугольник AOC - равнобедренный, т.к. AO=OB: в нём OB_1 является высотой (так как BB_1 - высота), значит, OB_1 - медиана, а значит, AB_1=B_1C
Рассмотрим треугольник ABC: BB_1 - высота (по условию задачи) и медиана (так как AB_1=B_1C по доказанному), значит ABC - равнобедренный треугольник, и BB_1 - биссектриса угла В.
Пусть расстояние от точки O до AB равно OM; OM = 1 по условию.
Пусть расстояние от точки O до BC равно ON.
Рассмотрим треугольники MOB и NOB -прямоугольные (<BMO=<BNO=90)
OB - общая сторона
<MBO=<NBO (т.к. BB_1 - биссектриса)
Значит, треугольники MOB и NOB равны по гипотенузе и острому углу, значит OM=ON=1
ответ: 1