Вромбе efgh точки k, l, m, n-середины сторон ef, fg, gh и eh соответственно. определите вид четырехугольника klmn. найдите периметр четырехугольника klmn, если диагонали ромба равны 4 целых пять девятых и 7 целых восемь девятых

Пусть в равнобедренный прямоугольный треугольник abc с прямым углом c вписана окружность с центром o. обозначим точки касания окружности со сторонами ac,ab и bc за d,e,f соответственно. по свойству вписанной окружности, cd=cf, ad=ae, be=bf. заметим, что отрезок cd равен r, так как четырехугольник cdof - квадрат (в нём две соседние стороны равны r, а все четыре угла прямые). обозначим отрезок ad за x, тогда стороны треугольника равны r+x, r+x и 2x. мы знаем, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза в  √2 раз больше катета (это очевидно следует из теоремы пифагора), значит, имеет место равенство √2(r+x)=2x, откуда (2-√2)x=√2r, то есть x=√2/(2-√2)*r=1/(√2-1)*r=(√2+1)*r. значит, катет треугольника равен (√2+2)*r, а гипотенуза равна 2*(√2+1)*r.

Правильная призма-куб, сторона куба=диаметр вписанной  сферы=2r, полная поверхность призмы=2*площадь основания+площадь боковой, площадь основания=сторона в квадрате=2r*2r=4*r в квадрате, площадь боковой=периметр*высоту=4*2r*2r=16*r в квадрате , полная поверхность призмы=2*4*r вквадрате+16*r в квадрате=24*r в квадрате (или полная поверхность=6*площадь основания=6*4*r в квадрате=24*r в квадрате), поверхность сферы=4пи*r вквадрате, поверхность призмы/поверхность сферы=24*r в квадрате/4пи*r в квадрате=6/пи