Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 1, а ребро основания -4. найдите длину бокового ребра этой пирамиды.

1 способ:   опустим в δавм (ав = вк) высоту вн ⇒ вн⊥ак, ан = нк, но ам = мс ⇒ нм - средняя линия δаск, нм || вс. отрезок вк из точек н и м под прямым углом ⇒ четырёхугольник вкмн вписанный, но нм || вк ⇒ вкмн - равнобедренная трапеция, вн = мк, вм = нк = ан, ∠вкм = ∠квн = (180° - ∠а - ∠с)/2 = 55°

2 способ:   удвоим медиану вм, достроив δавс до параллелограмма авсd, ек - серединный перпендикуляр к bd ⇒ be = ed = dk = kb = ab = cd

∠bkm = ∠bed/2 = (180° - ∠aeb)/2 = (180° - ∠bae)/2 = (180° - ∠a - ∠c)/2 = 55°

ответ: 55°

пирамида sabcd, s - вершина, диагональ bd, на ребре sc точка f, плоскость fbd перпендикулярна sc, точка о - центр квадрата в основании пирамиды (само собой, он делит bd пополам). все боковые грани, в том числе sdc и sbc - равносторонние треугольники. это все задано в условии. 

сечение bfd - равнобедренный треугольник с основанием bd и высотой so, боковые стороны bf и fd перпендикулярны sc (плоскость fbd перпендикулярна sc), поэтому в треугольнике sdc - df высота (медиана, биссектриса). то есть f - середина sc.

тут можно было бы заняться вычислениями, но можно заметить, что в прямоугольном треугольнике soc - of медиана к гипотенузе, то есть равна её половине, то есть 3. это позволяет сразу записать ответ.

sbfd = fo*bd/2 = 3*(6*корень(2))/2 = 9*корень(2)