1осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого 10 см. найти радиус основания цилиндра

Осевое сечение цилиндра - квадрат,значит диаметр равен стороне квадрата  найдём сторону по т.пифагора, обозначив её за хх²+х²=10² 2х²=100 х²=50 х=√50=5√2см значит диаметр равен 5√2 см , а тогда радиус 5√2: 2=2,5√2 см ответ: 2,5√2 см

R1, r2, r3 - радиусы вписанных окружностей треугольников сна, cнb и авс соответственно. в прямоугольном тр-ке высота, опущенная из прямого угла, делит его на два подобных тр-ка, которые, в свою очередь, подобны главному тр-ку. значит отношение радиусов вписанных окружностей равно отношению соответственных сторон треугольников. пусть гипотенузы тр-ков сна и chв равны: ас=5х и вс=12х, тогда гипотенуза тр-ка авс: ав=√(ас²+вс²)=√(5²х²+12²х²)=√169х²=13х. r1: r2: r3=ас: вс: ав=5х: 12х: 13х=5: 12: 13   ⇒ r3=13 см - это ответ.

Точка о2 - центр вписанной окружности в  тр-ник авс. точка о1 - центр заданной окружности.  около тр-ка авс опишем окружность. ао2, во2 и  со2 - биссектрисы соответствующих углов. продолжим отрезок со2 до  пересечения его с описанной окружностью в некой точке к.  ∠ао2к=∠а/2+∠с/2, т.к.  ∠ао2к является внешним к тр-ку асо2. ∠вак=авк=∠с/2, т.к. оба опираются на те же дуги, на которые опираются равные углы из вершины тр-ка авс. ка=кв по этой же причине. заметим, что в тр-ке ако2  ∠као2=∠ао2к, значит он равнобедренный. ка=ко2=кв, значит точка к - центр описанной около тр-ка  аво2 окружности. тр-ник авс - равнобедренный. в нём см - биссектриса и высота. в прямоугольном  тр-ке асм  ∠а+∠с=90°. заметим, что и  в тр-ке аск  ∠сак=90°, значит  ∠cвк=90°. са и cв - касательные к окружности с центром в точке к. точки а и в лежат на этой окружности. но са и cв - касательные к заданной окружности, значит точки к и о1 .  о1о2 - радиус заданной окружности, значит центр вписанной в тр-ник авс  окружности лежит на данной окружности. доказано.