Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны 9 и 16. найти площадь треугольника.

A, b - катеты. x - высота, опущенная на гипотенузу. рассматриваем три прямоугольных треугольника и применяем (вот это да! ) теорему пифагора к ним (надеюсь, что ваше воображение позволит увидеть картинку). отсюда нам нужно найти x. а теперь воспользуемся (та-) формулой площади! (это половина основания, умноженного на высоту), т.е.

  нехай  ∠a = 3x,  ∠b = 5x,  ∠c = 7x. за теоремою про суму кутів трикутника  ∠а +  ∠в +  ∠с = 180°. маємо рівняння: 3x + 5x + 7x = 180 15x = 180 x = 180 : 15 x = 12 - одна частина; 3x = 3 * 12 = 36° -  ∠a; 5x = 5 * 12 = 60° -  ∠b; 7x = 7 * 12 = 84° -  ∠c.   за теоремою про зовнішній кут  ∠a +  ∠1 = 180°,  ∠b +  ∠2 = 180°,  ∠c +  ∠3 = 180°. знайдемо  ∠1,  ∠2,  ∠3: 180° - 36° = 144° -  ∠1; 180° - 60° = 120° -  ∠2; 180° - 84° = 96° -  ∠3. відповідь: 36°, 60°, 84°, 144°, 120°, 96°.

Так как рисунок с расположением точек k, m, n отсутствует, пусть k∈ab; m∈bc; n∈ac. радиусы в точку касания образуют прямые углы с касательными: ok⊥ab; om⊥bc; on⊥ac градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла, который опирается на эту дугу.    ⇒  ∠mon =  ∪mn = 110° ∠kon =  ∪kn = 120° сумма углов четырехугольника (n - 2)*180°=(4 - 2)*180° = 2*180° = 360° четырехугольник cmon.  ∠с = 360° -  ∠onc -  ∠omc -  ∠mon = = 360° - 90° - 90° - 110°= 70° четырехугольник akon.  ∠a = 360° -  ∠oka -  ∠ona -  ∠kon =  =  360° - 90° - 90° - 120°= 60° δabc:       ∠b = 180° -  ∠a -  ∠c = 180° - 70° - 60° = 50° ответ: углы треугольника  50°, 60°, 70°