На сторонах ab, bc и ac треугольника abc взяты точки с1, а1 и в1 соответственно, причем ac1/c1b=ba1/a1c=cb1/b1a=2. найти площадь треугольника a1b1c1, если площадь треугольника abc равна 1

Утреугольника ac1b1 высота к стороне ab1 составляет 2/3  от высоты треугольника abc к стороне ac. - эти высоты (то есть - расстояния от точек с1 и в до ac)  пропорциональны отрезкам ac1 и ab. сторона ab1 = ac/3; поэтому площадь s1  треугольника ac1b1  равна (2/3)*(1/3) от площади abc (обозначу её s). или s1 =    s*2/9; точно также находятся площади треугольников bc1a1 и ca1b1; все они равны s*2/9; сумма их равна s*2/3; откуда площадь треугольника a1b1c1 равна s/3;   то есть 1/3; (при s = 1; )

ответ:   ∠1 = 16°;   ∠2 = 119°;

решение:

так как abcd - это квадрат, то его диагональ ac - это биссектриса. и поэтому прямой угол mcn был разделен на два равных угла биссектрисой ac. тогда:

∠mca = ∠nca = 90° : 2 = 45°.

теперь докажем, что треугольники mac и nac являются равными. у них есть две равные стороны (mc = cn и общая ac) и равные углы (∠mca = ∠nca). поэтому они действительно равны.

и тогда:

∠mac [угол 1] = ∠nac = ∠man : 2 = 32° : 2   = 16°.

теперь найдем угол anc (или угол 2). воспользуемся тем, что сумма углов треугольника равна 180°:

∠anc [угол 2] = 180° - ∠can - ∠nca = 180° - 16° - 45° = 119°.  

ответ:

угол 1 = 16°

угол 2 = 119°

объяснение:

угол 1:

угол мас=углу nac= угол man/2, поскольку треугольники acm acn равны (две стороны и угол между ними). угол мас = 32°/2=16°

угол 2:

у квадрата все углы равны 90°, не исключение и угол bad=90°. поскольку диагональ квадрата делит угол пополам, то угол cad =90°/2=45°. что бы узнать угол nad, нужно вычесть из угла cad найденный ранее угол mac. 45°-16°=29°.

треугольник adn прямоугольный (угол adn=90°), сума всех углов в любом треугольнике равна 180°. 180°-90°-29°=61°.

угол and = 61°

and и anc смежные, и их сумма равна 180°.

anc=180°-and=180°-61°=119°