Вчетырехугольнике abcd ad=bc, ab=5, cd=4, сумма углов при вершинах а и в равна 60 гр. найдите площадь четырехугольника abcd.

Abcd-трапеция, < a+< b+60^2=30,ab=5--нижнее основание,cd=4-верхнее основание.проведем высоту dh. δadh-прямоугольный,dh=1/2ad-против угла в 30гр.ad=dh, ah=(5-4)/2=0,5 4dh²-dh²=0,25⇒3dh²=0,25⇒dh²=1/12⇒dh=1/√12=√12/12=2√3/12=√3/6 s=1/2(ab+cd)*dh=1/2*9*√3/6=3√3/4

1) пусть abcd - трапеция, вс и ad основания трапеции, o - точка пересечения диагоналей.

2) рассмотрим треугольники boc и aod:

      < вос = < aod (вертикальные)

      < cbo = < oda (накрестлежащие при параллельных прямых ad и bc)

      < bco =  < oad  (накрестлежащие при параллельных прямых ad и bc)

      отсюда, треугольники  boc и aod подобны

3) но высоты в этих треугольниках равны ( по условию) ⇒ коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны  ⇒  bc = ad

4) по признаку параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны) четырехугольник является не трапецией, а параллелограммом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 

1) ав (2-0; 5-1)  ⇒ ав (2; 4)

    cd (2-4; -3-1)  ⇒ cd ( -2; -4)  ⇒ вектора коллинеарны  ⇒ ав || cd

 

  2) bc (4-2; 1-5)  ⇒ bc (2; -4)

      ad (2-0; -3-1)  ⇒ ad (2; -4)  ⇒    вектора коллинеарны ⇒ bc || ad  ⇒ abcd - параллелограмм

б)

ab =  √(2² + 4²) =  √20

cd =  √)² + (-4)²) =  √20

bc =  √(2² + (-4)²) =  √20

ad =  √(2² + (-4)²) = √20  ⇒ abcd - ромб