Окружность с центром o, вписанная в прямоугольный треугольник abc касается катета bc в точке m . луч bo пересекает катет ac в точке k . найдите ak, если cm=4 , bm=8 .

Если окружность касается еще какой-то стороны в точке n, и если обозначить  an = y; bm = 8 = x; cm = r = 4; то (r + x)^2 + (r + y)^2 = (x + y)^2; или r^2 + r*(x + y) = x*y; откуда  y = r*(x +  r)/(x - r) = 4*12/4 = 12; стороны треугольника abc ab = 20; ac = 16; bc = 12; (это египетский треугольник, то есть подобный 3,4,5) bo - биссектриса, то есть ak/ck = ab/bc; или ak/ac = ab/(ab+bc); ak = 16*20/(20  +  12) = 10;

Катет есть среднее между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. высота,проведённая к гипотенузе, есть среднее между проекциями катетов на гипотенузу. 22) пусть проекция катета (4см) на гипотенузу равна х см, тогда гипотенуза равна х+6 см; 4^2=(х+6)*х х^2+6х-16=0 х=2 см; гипотенуза равна 2+6=8 см; второй катет (а) равен: а^2=6*8=48 а=√48=4√3 см; высота равна: h^2=6*2=12 h=√12=2√3 см; площадь равна: s=1/2* 4*4√3=8√3 см^2; 23) три угла: 90°; 60°; 30°; катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы; один катет равен 8: 2=4 см; второй катет равен √8^2-4^2=√48=4√3 см; площадь равна s=1/2*4*4√3=8√3 см^2; 24) сторона ромба: a=164: 4=41 см; сторона ромба, половины меньшей и большей диагоналей образуют прямоугольный треугольник; по теореме пифагора половина диагонали равна: √41^2-9^2=√1600=40 см; вся диагональ равна: 40*2=80 см; площадь ромба равна: s=1/2*18*80=720см^2;

{a   +   b   =   10 {a * b   =   18 первое   уравнение   возведём   в   квадрат,   а   второе   умножим   на   2. {a^2   +   2ab   +   b^2   =   100 {2ab   =   36 a^2   +   36   +   b^2   =   100 a^2   +   b^2   =   100   -   36 a^2   +   b^2   =   64 по   теореме   пифагора     c^2   =   a^2   +   b^2.   c^2   =   64,   c   =   8. ответ.     8