Утрикутнику авс проведено висоти аа1, вв1, сс1. відомо, що аа1+вв1+сс1=0(вверху стрелки доведіть, що трикутник авс правильний.

Позначимо d і e проекції точок c₁ і d₁ на пряму ac. тоді з рівності  b₁b = -bb₁=aa₁+cc₁ для проекцій на пряму ас одержимо рівність: ae +cd =0. оскільки ae = ad + de і cd = ce + de, знаходимо що ad + ce =0, тобто   ad = ec. звідси, |ad| = |ec|.     з прямокутних трикутників ac₁d і acc₁, маємо: |ad| = |ac| *cos²∠ a; |ec| = |ac| *cos²∠ c. оскільки |ad| = |ec|,то cos²∠ a=cos²∠ c. аналогічно доводиться, що cos²∠ a = cos²∠ b. звідси випливає що  ∠ a=∠ b=∠ c, тобто трикутник авс - правильний. що й треба було довести.

1)

пусть х-коэф-т пропор-ти,тогда стороны тр-ка равны 4х см,5х см и 6х см.

средние линии равны 2х см,2,5х см и 3х см.

сумма средних линий 30 см,значит,

  2х+2,5х+3х=30

  7,5х=30

  х=4

  4*4=16(см)

  5*4=20(см)

  6*4=24(см).

    ответ: 16 см,20 см,24 см.

2) 

по теореме пифагора, 

(kp)^2=(tk)^2+(pt)^2=(7)^2+(7*sqrt(3))^2=49+147=196

kp=14

 

cos(k)=kt/pk=7/14=1/2

k=60 градусов

 

3)

рассмотрим треугольник авс с прямым углом в.

угол а=альфа, угол в=бетта. высота вн разбивает гипотенузу ас на 2 части.

ас=ан+нс

найдём отдельно ан и нс выразив их через тангенс угла а и угла в. так как вн высота, то треугольник авн прямоугольный. выразим ан через тангенс угла а.

tga=bh/ah,     ah= bh/tga = 4/tg альфа.

выразим также нс через тангенс угла с в прямоугольном треугольнике внс.

tgс=вн/нс,   нс=вн/tgс= 4/tg бетта.

тогда ас= 4/tg альфа + 4/tg бетта  

 

4)основания трапеции параллельны

ек=кр,

nк - средняя линия треугольника мер.

она равна половине основания мр. значит, мр = 7*2=14  тогда разность=14-7=7

т.к. ас диаметр, то вписанные углы авс и аdc, которые на него опираются равны 180: 2=90град.

треугольники аво и adо   равносторонние, их стороны равны радиусу,   значит и углы равны 180: 3=60град., следовательно углы bao и dao равны   60град., т.е. угол bad равен 60·2=120град. угол bсd=180-120=60град. (сумма углов четырёхугольника равна 360град.)

углы bca и dca равны по 30град. (90-60=30 свойство углов прямоугольного треугольника) и являются вписанными в окружность, следовательно дуги на которые они опираются ab и ad равны 30·2=60град.

дуги bc и cd так же в 2 раза больше вписанных углов bac и dac, которые на них опираются, т.е. 60·2=120град.

ответ: углы четырёхугольника abcd равны   120; 90; 60; 90 град. дуги ав и cd - 60град., дуги bc cd по 120град.