Впрямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ. через какое число узлов она проходит? на сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?

(m ,  n) + 1  число узлов она проходит m   +  n   - (m ,  n)  частей   диагональ делится линиями сетки

Число узлов = нод( m, n ) + 1 число частей =  m + n  - нод( m, n )

Недра тихого океана богаты полезными ископаемыми.на первом месте идёт нефть и газ,добыча ведётся во многих регионах и разных местах и странах.по оценкам специалистов,30-40 %   запаса газа и нефти мирового океана,находятся именно в тихом океане и добыча будет расти с каждым годом.залежи многих минералов покоятся на тихоокеанском дне: олово,циркон, ильменит,золото,платина- запасы сравнимы с их запасами на суше.в тихом океане добывают большую часть брома,магния,поваренной соли,марганца,имеются большие залежи алмазов.запас железомарганцевых конкреций огромен,возможна добыча никеля, ,меди.энергетический потенциал тихого океана также огромен-энергия волн,приливов,океанических течений используется в мировом хозяйстве.

пусть c и c′ - длины окружностей радиусов r и r′. впишем в окружности правильные многоугольники.

pn  и pn′ - их периметры, an  и an′ - стороны.

pn  = n • an  = n • 2r • sin

pn′ = n • an  = n • 2r′ • sin

тогда 

зная, что периметры pn  и pn′ - приближенные значения длин окружностей c и c′, при n →∞, получаем

   

но в силу равенства  получаем 

по свойству пропорции 

значение величины π ("пи") приближенно равно 3,14.

формула длины окружности:

***

 

124.

если известен радиус r = 4, то длина окружности c = 2πr = 2 • 3,14 • 4 = 25,12

если c = 82, то радиус окружности r ==  = 13,1

если c = 18π, то радиус окружности r ==  = 9

***

 

125.

дано:

a - сторона правильного треугольника

 

найдите: длину описанной окружности

решение:

т.к.  сторона правильного многоугольника

an  = 2r • sin тогда сторона правильного треугольника

a = r    r = 

тогда длина окружности, описанной около правильного треугольника равна c = 2πr = 

***

 

вывод формулы для вычисления дуги l с градусной мерой α.

градусная мера окружности 360°,

длина окружности c = 2πr

длина дуги в 1° равна 

 

 

тогда  длина дуги окружности в α градусах:

 

 

 

***

 

126.

дано:

радиус r= 6 см,

угол дуги

1) α = 30°2) α = 45°3) α = 60°4) α = 90°

 

найти: длину дуги окружности

решение:

1) l =  • 30° =  • 30° = π (см)

2) l =  • 45° =  • 3 = 1,5π (см)

3) l =  • 60° = 2π (см)

4) l =  • 90° = 3π (см)

***

 

127.

дано:

abcdef - правильный шестиугольник,

площадь шестиугольника s6  = 24  см2

 

найти: чему равна длина описанной окружности c = ?

решение:

c = 2πr

значит, нужно найти радиус описанной окружности.

площадь шестиугольника определяется по формуле

s6  =  • p6  • r6

радиус вписанной окружности определяется по формуле

r6  = r • cos    =  • r

сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности: a6  = r

тогда периметр шестиугольника p6  = 6 • a6  = 6r (см)

s6  =  • p6  • r6  =  • 6r •  • r = 1,5•r2

24= 1,5•r2

r2  =  = 16    получаем радиус описанной окружности

r =  = 4 (см)

тогда длина описанной окружности равна

c = 2πr = 2π • 4 = 8π (см)

ответ: 8π см.

***

 

128.

дано:

abcd - квадрат,

сторона квадрата ab = a

 

найти: длину вписанной окружности c = 2π • r = ?

решение:

r4  = r • cos    = r • cos 45° =  r

c = 2π • r = 2π •  r = π • r

ab = a = 2r = r. значит, c = π • r= π • a

ответ: длина окружности, вписанной в квадрат c = π • a

***

 

129.

дано: окружность (o; r) – описанная около следующих фигур

1) δ abc – вписанный прямоугольный треугольник;

a, b – катеты

2) δ abc – вписанный равнобедренный треугольник;

a – основание, b – сторона

3) abcd – вписанный прямоугольник,

bc = a – сторона прямоугольника,

α – острый угол между диагоналями

 

найти: длину описанной окружности c = 2πr = ?

решение:

1)

2r = ab    r =  ab

ab = 

тогда длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника

c = 2π •    •  = π

 

2)

bh =  = 

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

sδabc  =  bh • ac =    (1)

но площадь треугольника можно также найти через деление произведения трех его сторон на четыре радиуса описанной окружности:

sδabc  =    =    (2)

 

используя равенства (1) и (2), получаем

=    r =