Около окружности радиуса 5 описана равнобочная трапеция. расстояние между точками касания боковых сторон равно 8. найти площадь трапеции.

Пусть трапеция abcd; ab = cd; пусть точки касания ab с окружностью m, bc - k; cd - n; ad - p; у  дельтоида mknp известны обе взаимно перпендикулярные диагонали (mn = n =  8; очевидно, что kp = 2*r = 10); центр окружности радиуса  r = 5  пусть o, лежит в середине kp. площадь трапеции s = p*r = r*(ab + bc + cd + ad)/2 = r*(2*ab);   поскольку суммы противоположных сторон равны, и  ab + cd = 2*ab = p ; треугольник aob - прямоугольный, его гипотенузу ab надо найти,  высота равна om = r; треугольник kmp тоже прямоугольный, так как kp - диаметр.  ∠oab = 90° -   ∠moa; то есть  ∠moa =  ∠abo; ∠moa  = (1/2)*∠mop =  ∠mkp; получилось  ∠abo =  ∠mkp;   то есть прямоугольные треугольники aob и  mkp подобны.  гипотенуза треугольника mkp kp = 2*r; высота n/2; ясно,  что  отношение высот равно отношению гипотенуз, то есть r/ab = (n/2)/(2*r); ab = 4*r^2/n; p = 2*ab = 8*r^2/n; s = 8*r^3/n; s = 125.

треугольники вом и aod подобны по двум углам (< aod=< bom как вертикальные, а < oаd=< bmа как накрест лежащие при параллельных вс и ad и секущей ам). коэффициент подобия равен k=bm/ad=1/2. тогда ом=(1/3)*ам, od=(2/3)*ad.

если речь идет о векторах, то мы видим, что вектор ор=ом+мр, причем вектор ом=(1/3)*ам = (1/3)(ав+bm) = (1/3)(ав+ad/2) =ab/3+ad/6. вектор mp=mc+cp = ad/2-ab/2. тогда

ор = ом+мр = ab/3+ad/6+ad/2-ab/2 = (2/3)*ad - (1/6)*ab.

или так: вектор ор=оd+dр, причем вектор оd=(2/3)*bd.

вектор bd=ad-ab. тогда вектор od=(2/3)*ad-(2/3)*ab.

ор = оd+dр = (2/3)*ad-(2/3)*ab+ab/2 = (2/3)*ad - (1/6)*ab.

следовательно

ор < (2/3)*ad + (1/6)*ab, что и требовалось доказать.

Решена mike2 умный

 

решаем систему

2x - y - 4 = 0

x + 3y + 5 = 0

получаем х = 1, у = - 2

это координаты точки пересечения прямых, и эта точка будет принадлежать искомой прямой.

теперь запишем параллельную прямую так:

y = (- 2x - 6)/3= - 2x/3 - 2

коэффициент при х, который = - 2/3, указывает на угол наклона прямой к оси х, и будет такой же у искомой прямой, т.к. они параллельны.

теперь запишем уравнение искомой прямой

y = - 2x/3 + b

чтобы найти b подставим в уравнение координаты точки (1 ; - 2)

- 2 = - 2*1/3 + b

b = - 4/3

подставим значение b и получим формулу

y = - 2x/3 - 4/3

дополнение: решение первой системы уравнений

2x - y - 4 = 0

x + 3y + 5 = 0

2x - y - 4 = 0

- 2x - 6y - 10 = 0    складываем уравнения:

- 7y = 14

у = - 2 подставляем во второе уравнение

x + 3(- 2) + 5 = 0

х = 1